Топология компьютерных сетей. Характеристики топологии «кольцо». Теорема Брауэра о неподвижной точке
1. Общая топология. Общая топология существует с тех пор, когда в процессе развития канторовской теории множеств была создана теория точечных множеств в евклидовом пространстве. Евклидово пространство - это пространство, в котором введено расстояние, поэтому оно как множество точек приобретает свою топологию.
Благодаря этому были разработаны понятия замкнутого и открытого множеств окрестности, точки накопления. Эти понятия являются фундаментальными в разных областях математики, в частности в анализе.
Теория точечных множеств в евклидовом пространстве послужила исходным пунктом в развитии общей идеи топологического пространства. Это началось с работ Фреше (1878-1973) 1907 года, посвященных -пространствам. Фреше, занимаясь исследованиями в области функционального анализа, определил пространство при помощи понятия сходимости, которое составляет ядро всей топологии. Заслуга Фреше в том, что он выдвинул основные положения абстрактного пространства. Это был отход от привычных рассмотрений в евклидовом пространстве. Точка абстрактного пространства - это уже не точка в том смысле, как это понимают в евклидовой геометрии. Если речь идет о множестве, в котором определено понятие сходимости, то это уже топологическое пространство. Абстрактная теория пространства постепенно слилась с тем, что определяется сейчас как теория топологических пространств. Абстрактизация идеи пространства открыла путь формированию многих важных понятий в различных разделах математики.
Мы приведем имена лишь нескольких математиков, которые внесли принципиальный вклад в разработку фундаментальных положений топологии.
В 1909 году Рис (1880-1956) исследовал предельные точки множества. В 1914 году Хаусдорф (1868-1942) пришел к понятию
системы окрестностей. В 1922 году Куратовский (р. 1896) ввел аксиоматику замыкания, в 1925 году Александров (р. 1896) построил теорию открытых множеств, а в 1927 году Серпиньский (1882-1969) - теорию замкнутых множеств.
Около сорока лет назад в противоположность нынешнему состоянию алгебраической топологии алгебраический аппарат использовался робко. В то время для изучения геометрических фигур применялись весьма наглядные методы, которые составляли геометрическую топологию теории множеств. Исследования велись в теории кривых линий, теории размерности, что в настоящее время включается в общую топологию.
2. Комбинаторная топология. При исследовании геометрических свойств мнргообразий Пуанкаре пользовался разбиением многообразия на элементарные симплексы и, обратно, создавал из симплексов сложные комбинаторные структуры. При этом Пуанкаре применял аппарат введенных им групп гомологий. Дальнейший прогресс комбинаторной топологии связан с такими значительными результатами, как результаты Хопфа (1895-1971), теоремы о неподвижных точках отображения Лефшеца (1884-1972), теоремы двойственности Пуанкаре и Александера. Эти геометрические теории, представляя собой часть комбинаторной топологии, являются ветвью алгебраической топологии. Примерно с 1940 года она получила значительное развитие в связи с исследованиями линейных образов комбинаторных структур, где Уайтхедом (1904-1960) были получены замечательные результаты. Эта дисциплина стала называться -топологией.
О положительном решении общего предположения Пуанкаре уже говорилось выше. Затрагивая вопрос определения комбинаторных многообразий, мы не говорили об известном основном предположении комбинаторной топологии, которое в 1961 году Мазуром и Милнором (р. 1931) было опровергнуто.
Основное предположение комбинаторной топологии (Hauptvermutung). В начале XX века комбинаторная топология особенно сильное развитие получила в Германии, и подавляющее большинство работ публиковалось на немецком языке. Упоминаемая здесь основная гипотеза также впервые была сформулирована на немецком языке. И по сей день в различных трудах ее часто называют по-немецки Hauptvermutung. Формулировка этого предположения такова: если полиэдры двух комплексов К к К гомеоморфны, то можно подразделить их таким образом, что полученные в результате этого комплексы являются равными комплексами.
Комплексы некоторые подразделения которых равны, называются комбинаторно эквивалентными. При определении комбинаторного многообразия, казалось бы, естественно потребовать, чтобы полиэдр звезды и -мерный симплекс были гомеоморфны. Однако в общем случае остается неизвестным, можно ли считать равными Поэтому удобнее требовать, чтобы были комбинаторно эквивалентны.
3. Алгебраическая топология. Алгебраическая топология представляет собой область геометрии, цель которой состоит в установлении топологических инвариантов на основе
применения теории групп. Алгебраическая топология считается ведущей областью топологии. Упоминавшаяся выше теория гомологий также относится к этой области геометрии. К числу других достижений алгебраической топологии относятся введенные в работах Александера и Колмогорова (р. 1903) группы когомологий.
В более позднее время алгебраическая топология сделала резкий скачок вперед благодаря работам Стинрода (1910-1971) по теории когомологий, опубликованным в 1947 году, и исследованию Серром (р. 1926) в 1951 году спектральных последовательностей.
4. Дифференциальная топология. Есть область топологии, объектом исследований которой являются дифференцируемые многообразия. Суть дифференцируемого многообразия состоит в возможности рассмотрения дифференцируемых функций, заданных на этом многообразии. Если о дифференцируемых многообразиях говорить конкретнее, то нужно прежде всего вспомнить, что каждая точка многообразия обладает окрестностью гомеоморфной открытому диску (или, что все равно, всему евклидову пространству). Координаты, заданные в евклидовом пространстве, посредством гомеоморфизмов переносятся в окрестность каждой точки многообразия. Это так называемые локальные координаты. Так как точка многообразия принадлежит одновременно многим окрестностям то ей соответствует столько же различных систем локальных координат. Многообразие дифференцируемоу если функции преобразования от одной локальной системы координат к другой являются дифференцируемыми.
Вероятно, следовало привести конкретные формулы, однако суть, думается, может быть ясна и без этого.
Непосредственное впечатление от дифференцируемого многообразия отражено в том, что часто применяется термин «гладкое многообразие». Гладкость состоит, собственно, в том, что окрестность каждой точки можно расширить дифференцируемым образом. Гладкие кривы 1 поверхности, такие, как сфера или поверхность тора представляют собой дифференцируемые многообразия.
В дифференциальной топологии, таким образом, можно рассматривать не только непрерывные относительно точек многообразия отображения, но и дифференцируемые отображения. Если к общим условиям гомеоморфизма одного многообразия на другое добавить условия дифференцируемости, то получим изоморфизм их гладких структур, или так называемый диффеоморфизм.
Другими словами, гладкие структуры диффеоморфных между собой дифференцируемых
многообразий равны. Такие многообразия являются главным объектом исследования дифференциальной топологии. Этот раздел геометрии связан с изучением глобальных свойств многообразий, и мы здесь не будем специально рассматривать такие вопросы дифференциальной геометрии, как кривизна и т. п.
Фундаментальные исследования в дифференциальной топологии были проведены Уитни (р. 1907) в 1930 году. Затем активность исследований в этой области несколько снизилась.
В 1952 году Том (р. 1923), лауреат филдсовской премии 1958 года, опираясь на теорию кбгомологий и гомотопических групп, построил теорию кобордизмов. Недавно он разработал ставшую широко известной теорию катастроф.
В 1956 году Милнором были обнаружены удивительные особенности дифференциальной структуры, присущие семимерной сфере Суть отбытия Милнора, которое явилось совершенно неожиданным не только с геометрической точки зрения, но и с точки зрения анализа, в двух словах заключается в том, что существуют гладкие семимерные сферы которые между собой гомеоморфны, но не диффеоморфны. Доказательство этого факта основано на предварительном изучении свойств и величин, сохраняющихся при диффеоморфизмах, последующее сравнение которых привело к выводу о том, что на семимерной сфере есть различные дифференциальные структуры.
В дифференциальной топологии был получен ряд глубоких теорем, которые составили ей славу одной из самых замечательных
областей всей математики. Ряд достижений дифференциальной топологии связан с комбинаторной топологией. Подтверждением этого является, например, теорема о том, что любое дифференцируемое многообразие есть комбинаторное многообразие.
5. Геометрическая топология. Это название, да и сам раздел топологии отнюдь не является общепризнанным. В исследовании топологических свойств геометрических фигур существует направление, в котором не применяется алгебраический метод, как это было при исследовании комбинаторных и гладких структур, и изучение геометрических свойств проводится непосредственно. Этим и объясняется название «геометрическая топология». Основной объект изучения геометрической топологии - это необычные геометрические фигуры в евклидовом пространстве Слова «необычные геометрические фигуры» употреблены здесь потому, что, с одной стороны, речь идет о необычных фигурах, применить к которым алгебраические методы особенно трудно, а с другой стороны, эти фигуры достаточно геометричны, чтобы иметь о них на: глядное представление. Направление, которое исследует необычные фигуры, можно было бы назвать геометрической патологией фигур.
Инструмент исследования в данном случае не представляет собой методически разработанную теорию. Изучение тех или иных геометрических фигур состоит в непосредственном
наглядном восприятии с последующим проведением цепочки строго обоснованных рассуждений. Поэтому здесь необходимы острота восприятия и правильность логического вывода. Из последних достижений в изучении патологических (диких) геометрических фигур можно, например, отметить исследования трехмерных многообразий. Проблема топологической классификации трехмерных многообразий, как это явствует уже из рассуждений относительно гипотезы Пуанкаре, далека от своего решения и представляется крайне сложной. Именно со стороны гипотезы Пуанкаре к задаче классификации подошли вплотную многие исследователи, получив значительные результаты. Хорошо известны исследования Папакирвякопулоса (1914-1976), в результате которых этот «уважаемый Пап» решил в 1957 году проблему Дэна (1878-1952) о сфере. Теорема о сфере формулируется следующим образом: если трехмерное ориентируемое многообразие с (двумерная гомотопическая группа), то существует вложенная в нестягиваемая двумерная сфера Эта сфера 52 как раз и обеспечивает нетривиальность двумерной гомотопической группы Эта теорема вскрывает еще одну связь между комбинаторной и алгебраической топологией. Надо сказать, что многие результаты одной области могут быть в определенной степени взаимно использованы в смежной области, хотя в каждом конкретном случае существо вопроса подлежит непосредственной проверке.
Что касается только что упомянутой проблемы, то о ее решении, которое опиралось на ряд вспомогательных лемм, заявил еще
в 1910 году, когда он занимался изучением геометрии трехмерных многообразий. Однако вскоре Кнезер (р. 1898) и другие указали на пробелы в приведенном доказательстве. И только гораздо позже, в 1957 году, было получено окончательное доказательство.
В вопросах построения трехмерных многообразий из более простых многообразий Кнезером была предложена важная теорема, которая в 1962 году была улучшена Милнором. Упоминая об этих теоремах, мы, однако, из-за их сложности не приводим здесь даже формулировок.
Из работ, посвященных изучению «диких» многообразий, следует также отметить последовавшую за работами Антуана 1921 года работу Александера 1924 года, в которой он предложил конструкцию так называемой рогатой сферы. Рогатая сфера Александера, которая изображена на рис. 107, непривычная, сложная для восприятия дикая фигура. В дальнейшем исследования в этом направлении продолжены Столлингсом, Бингом (р. 1914) и другими.
Итак, мы дали общий обзор основных областей топологии. Эти области, безусловно, не имеют между собой резких границ. Так, комбинаторная топология очень тесно связана как с геометрической, так и с дифференциальной топологией. В каждой из указанных областей применяется аппарат алгебраической топологии.
Далее следует подчеркнуть, что топологические методы находят применение в разных областях математики. Так, хотя мы почти не затрагивали проблемы классификации геометрических фигур, заметим, что здесь имеется много вопросов топологического характера. Достаточно вспомнить о проблеме узлов, которая является частным случаем более общей проблемы вложения многообразий в евклидово пространство или в какое-нибудь другое многообразие. В качестве простого примера можно указать на топологическую задачу размещения замкнутой кривой линии - окружности - на замкнутых кривых поверхностях рода 1, 2 и т. д.
Топология - это современная ветвь математики, и изложение содержания любой из ее областей неизбежно приводит к обсуждению острых проблем, касающихся современного состояния математики и перспектив ее развития. Однако поскольку мы вынуждены ограничиться кратким описанием лишь некоторых самых общих математических принципов и идей, то очень многое пришлось сократить до минимума или опустить вообще.
Курсовая работа
на тему: «Элементы общей топологии»
Введение
Топология – одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самых абстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет её существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики.
Топология (от греческого «τοποξ» – место, окрестность, «λογοξ» – закон) – раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.
Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.
Целью первой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.
· дать определение топологического пространства;
· рассмотреть свойства топологических пространств;
· охарактеризовать топологические преобразования.
Во второй главе работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей. Были поставлены следующие задачи:
· дать определение двумерного многообразия;
· рассмотреть эйлерову характеристику поверхности;
· охарактеризовать ориентируемые и неориентируемые поверхности.
1. Элементы общей топологии
1.1 Понятие топологического пространства
1.1.1 Понятие метрического пространства
Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть
А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.
В частности, возможно А = В.
Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение
r: Х ´ Х ®R,
удовлетворяющее следующим аксиомам:
1. " х, у Î Х {r (х, у) ³ 0}, причем r (х, у) = 0 Û х = у.
2. " х, у Î Х {r (х, у) = r (у, х)}.
3. " х, у, zÎ Х {r (х, у) + r (у, z) ³r (х, z)}.
Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.
Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Х, r).
В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х,r) обозначают просто Х.
Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.
1.1.2 Примеры метрических пространств
Пример 1 . Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:
.Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) – метрическое пространство.
Пример 2 . Множество действительных чисел R с расстоянием
r(х, у) = (у – х) 2 не является метрическим пространством.
Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:
r(2, 3) = (3 – 2) 2 = 1, r(3, 4) = (4 – 3) 2 = 1,
r(2, 4) = (4 – 2) 2 = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).
Определение 1. Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х 0 Î Х,
r > 0– действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х 0 и радиусом r множество
U (x 0
, r) = {x | xÎX, r (x, x 0) Определение 2.
Подмножество GÌ Х будем называть открытым в (Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G. Пустое множество Æ также считаем открытым множеством. Определение 3.
Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку. Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Ф r
. Тогда имеет место следующая теорема. Теорема.
1) Объединение любой совокупности {G a
} множеств из Ф r
принадлежит Ф r
. 2) Пересечение любых двух множеств G 1
и G 2
из Ф r
принадлежит Ф r
. G 1
ÇG 2
Î Ф r
. 3) Метрическое пространство Х – открытое множество, то есть Х Î Ф r
, ÆÎ Ф r
. Доказательство. 1) Пусть Возьмём произвольную точку х 0
ÎG. Тогда существует такое a 0
, что х 0
Î U (х 0
, r 0) Ì Итак, G– открытое множество. 2) Пусть G = G 1
ÇG 2
, где G 1
, G 2
Î Ф r
и G Если х 0
ÎG, то х 0
ÎG 1
и х 0
ÎG 2
. Тогда существуют такие радиусы r 1
и r 2
, что U(х 0
, r 1) ÌG 1,
U(х 0
, r 2) ÌG 2
. Обозначим r= min{r 1
, r 2
}, тогда U (х 0
, r) ÌG 1
ÇG 2
= G. Итак, G – открытое множество. 3. Так как всегда можно представить где U a
– открытый шар радиуса r, с центром в точке В дальнейшем описанное нами семейство Ф r
всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будем называть топологией, индуцированной метрикой r в Х. . 1.1.3 Определение и примеры топологических пространств
Многие понятия теории метрических пространств (предел, предельная точка, точка прикосновения, замыкание множества, граница множества, непрерывность и т.д.) вводятся, опираясь на понятие окрестности или, что тоже самое, на понятие открытого множества. Понятие окрестность и открытое множество определяются с помощью метрики. Свойства открытых множеств метрического пространства принимаются в качестве аксиом. Этот путь приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой частный случай. Определение 1.
Пусть Х – непустое множество элементов произвольной природы, Ф = { 1. Само множество Х и пустое множество Æ принадлежат семейству Ф. 2. Объединение любого семейства множеств из Ф также принадлежит Ф. 3. Пересечение любых двух множеств из Ф также принадлежит Ф. Тогда семейство Ф называется топологией или топологической структурой. Пара (Х, Ф) или, другим словами, множество Х, в котором задана некоторая топология, называется топологическим пространством. Элементы множества Х называются точками топологического пространства, элементы семейства Ф называются открытыми множествами в (Х, Ф). Когда не может возникнуть недоразумений, разрешается просто писать: Х – топологическое пространство, G Примеры топологических пространств. Пример 1.
Х – произвольное множество. Из аксиомы 1 топологического пространства вытекает, что среди открытых множеств любой топологической структуры в Х обязательно должны быть пустое множество Æ и само множество Х. Очевидно, что для семейства Ф т
= {Æ, X}, которое состоит лишь из этих двух множеств, выполняются также и аксиомы 2 и 3. Поэтому Ф т
= {Æ, X} является простейшей топологической структурой в Х. Эта топология называется тривиальной, а пара (Х, Ф) тривиальным топологическим пространством. Иногда эту пару называют антидискретным топологическим пространством. Пример 2.
Другой крайностью является так называемое дискретное топологическое пространство (Х, Ф d), где Ф d
представляет собой семейство всех подмножеств множества Х. Очевидно, что и в этом случае все аксиомы 1 – 3 выполняются. Топология, самая юная и самая мощная ветвь геометрии, наглядно демонстрирует плодотворное влияние противоречий между интуицией и логикой Р. Курант Топология является одним из самых молодых разделов современной геометрии. Чем занимается топология? Так, например, аналитическая геометрия исследует простейшие геометрические объекты (точки, прямые, плоскости и пр.) средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Чтобы получить некоторое представление о топологии, рассмотрим ряд простых и занимательных задач, связанных с ее объектами. У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен аудитории, поверхность земного шара известны всем. Возьмите бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией и приложите ее концы АВ и СD друг к другу, склейте их так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекрутите ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. Его особое название - "Лист Мёбиуса". У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, есть только одна сторона! В качестве опыта, демонстрируемого особенности листа Мебиуса, обычно предлагают «опыт с пауком и мухой». Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную - муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук никогда не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее! Таинственный и знаменитый лист Мебиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса. Представленный лист Мебиуса и является объектом изучения новой ветви геометрии – топологии. Топологию часто называют «резиновой геометрией», потому что в ней любую фигуру можно сгибать, скручивать, растягивать, сжимать, но только не разрезать и склеивать. При этом считается, что свойства фигуры остаются неизменными. При растяжении резинка порвется не сразу, она будет свободно растягиваться, сжиматься, так как эластична. И при таком растяжении или сжатии будут сохраняться все ее особенные свойства – цвет, структура и прочее, при этом изменится только длина и ширина. Поэтому в топологии при рассмотрении объекта не учитывается ни длина, ни величина его углов. Топологические объекты различаются только по «топологической структуре», их свойства могут быть установлены без измерения и сравнения длин и величин углов. К другим топологическим объектам относятся фигуры, которые можно нарисовать одним росчерком пера. Эти фигуры связаны с топологическим понятием графа. Граф состоит из двух множеств - множества вершин и множества ребер, причем для каждого ребра указана пара вершин, которые это ребро соединяет. Одной из знаменитых задач, связанных с понятием графов, является задача о Кенигсбергских мостах, называемой еще задачей Эйлера. В Кенигсберге есть остров, называемый Кнейпгоф. Река, омывающая его, делится на два рукава, через которые перекинуто семь мостов: а, b, с, d, e, f, g. Можно ли обойти все эти мосты, не побывав ни на одном из них более раза? Этой задаче Эйлер посвятил целое математическое исследование, которое было в 1736 году представлено в Петербургскую Академию. Для наглядности заменим рисунок расположения речных рукавов упрощенной схемой (рис.20). В предложенной задаче размер острова и длина мостов никакого значения не имеют (такова характерная особенность всех топологических задач). Задача сводится теперь к тому, чтобы начертить фигуру одним росчерком, не отрывая пера от бумаги и не проводя ни одной линии дважды. Сначала попытайтесь нарисовать одним росчерком, не отрывая пера от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии, каждую из следующих семи фигур, изображенных на рис. 21. Попытки вычерчивания непрерывной линией фигур 1-7 приводят к неодинаковым результатам. Некоторые фигуры удается вычерчивать, с какой бы точки ни начинать вести первую линию. Другие вычерчиваются одним росчерком в тех лишь случаях, когда начинают с определенных точек. Наконец, третьи вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией. Существуют ли признаки, позволяющие установить заранее, поддается ли данная фигура вырисовыванию одним росчерком, и если поддается, то с какой точки следует начинать черчение? Теория графов дает на эти вопросы исчерпывающие ответы, и мы сейчас познакомимся с некоторыми положениями этой теории. Условимся называть «четными» те точки фигуры, в которых сходится четное число линий, в отличие от точек «нечетных», в которых встречается нечетное число линий. Можно доказать, что какова бы ни была фигура, нечетных точек в ней либо нет совсем, либо их имеется две, четыре, шесть-вообще четное число. В теории графов доказывается, что если нечетных точек в фигуре нет, то она всегда поддается вырисовыванию одним росчерком, безразлично, с какого места ни начинать черчение. Таковы фигуры 1 и 5 . Если в фигуре имеется только одна пара нечетных точек, то такую фигуру можно нарисовать одним росчерком, начав черчение в одной из нечетных точек (безразлично в какой). Вычерчивание должно оканчиваться во второй нечетной точке. Таковы фигуры 2, 3, 6; в фигуре 6, например, вычерчивание надо начинать либо из точки А, либо из точки В. Если фигура имеет более одной пары нечетных точек, то она вовсе не может быть нарисована одним росчерком. Таковы фигуры 4 и 7, содержащие по две пары нечетных точек. И теперь уже можно заключить, что и задача Эйлера решений не имеет: по всем семи мостам пройти, как это требуется, невозможно. Также к «топологической задаче» относится и задача четырёх красок, заключающаяся в доказательстве (или опровержении) следующего предложения: четырёх различных красок достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту так, чтобы никакие две области, имеющие общий участок границы, не были окрашены в один и тот же цвет. Доказывается при этом, что пяти красок всегда достаточно для раскраски такого рода "карты". Если же соответствующую задачу формулировать для пространства, то здесь никакое число "красок" не окажется достаточным. Впервые эта проблема была сформулирована в 1825 году лондонским студентом Гутри, который обнаружил, что для различия графств на карте Англии достаточно четырех красок, и выдвинул гипотезу о том, что четырех красок достаточно для раскраски любой карты. Спустя сорок лет английский математик Хивуд доказал, что любую карту на плоскости можно раскрасить в пять цветов. В дальнейшем проблема четырех красок приобретала все больший и больший интерес. В 1968 году Оре и Стемпл доказали, что любую карту, имеющую не более 40 стран, можно раскрасить в четыре цвета. В настоящее время проблема четырех красок решена с помощью компьютерной визуализации. Учеными с помощью компьютера было просмотрено около 2000 типов карт и был получен вывод, что не существует среди них карты, для раскраски которой недостаточно четырех красок. Однако, поскольку нельзя признать, что все типы карт были рассмотрены, то полученное решение окончательным не считается и в настоящее время проблема четырех красок остается открытой. В топологии существуют и свои объекты, и свои свойства, отличающиеся от свойств фигур в евклидовой геометрии. Топологическим свойством геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. Проще говоря, если из одной фигуры можно получить другую, без разрывов и склеиваний, то эти две фигуры являются топологически одинаковыми и обладают одинаковыми топологическими свойствами. Окружность с помощью деформации можно преобразовать в овал, в треугольник, в квадрат, вообще в произвольный многоугольник без самопересечении, в произвольную замкнутую кривую без самопересечений, что позволяет нам судить о топологической эквивалентности (или, как еще говорят, гомеоморфности) всех вышеперечисленных фигур (рис.22). По определению все топологические свойства у гомеоморфных фигур совпадают, поэтому для топологии, изучающей лишь топологические свойства, все гомеоморфные между собой фигуры представляют как бы различные экземпляры одного и того же топологического образа, как, например, все конгруэнтные между собой треугольники в школьном курсе геометрии. В связи с этим и вводится понятие топологического типа. Для того, чтобы две фигуры принадлежали одному и тому же топологическому типу, необходимо и достаточно, чтобы они были гомеоморфными. Так, рассмотренные выше фигуры принадлежат одному топологическому типу; отрезок, дуга, незамкнутая ломаная - другому; «восьмерка» не принадлежит ни одному из этих типов. Сфера, куб, выпуклый многогранник образуют свой топологический тип и т. д. Возьмем лист бумаги. Согните его, как угодно, сделайте из него самолетик, кораблик, сомнем его в комок. Если в результате этих преобразований он нигде не порвался, то во всех этих состояниях все его виды – кораблик, самолетик, комок, эквивалентны друг другу. Более того, если допустить, что лист бумаги обладает особыми свойствами, позволяющими его растягивать как угодно и сжимать до любой степени, то он будет эквивалентен даже кругу. Если же все- таки случайно он порвался и образовалось отверстие, то это будет другая поверхность, называемая кольцом. Говорят, что она ограничена двумя окружностями К особым топологическим свойствам относятся: связность, компактность, линейная связность. Понятие связности обобщает интуитивное представление о целостности, неразделенности геометрической фигуры, а понятие несвязного пространства – отрицание целостности, разделенность. Пространство X называется несвязным
, если его можно представить как объединение двух непустых непересекающихся множеств. В противном случае пространство называется связным
. Простейшими примерами связного множества служит отрезок числовой оси R, несвязного – гипербола, если вспомнить, что собой представляет график гиперболы – две обособленные бесконечные ветви. Топологическое пространство называется отделимым
, если у любых его различных точек существуют непересекающиеся окрестности. Например, отделимыми являются числовое пространство, евклидово пространство, все метрические, аффинное и проективное пространства, потому что для каждых двух точек можно выбрать такие окрестности, чтобы они не имели общих точек. Компактные объекты – это объекты, которые одновременно и ограничены (например, вокруг них можно описать окружность или сферу), и замкнуты (то есть граничные точки принадлежат объекту). Какие же топологические объекты можно перечислить? Простейшая замкнутая поверхность, это, конечно, сфера. Второй интересный топологический объект – это тор, или как еще иначе его называют, бублик, баранка – по форме он действительно напоминает всеми любимое мучное изделие. Следующий объект – это уже известный лист Мебиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных - лист Мёбиуса II, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса. М
уравьи Эшера демонстрируют свойства листа Мёбиуса: муравьи ползут по одной стороне листа, но кажется, будто они движутся по противоположным его сторонам. Лист, дважды перекрученный на пол-оборота, имеет две стороны. Число перекручиваний определяет число сторон и приводит к неожиданным эффектам при разрезании листа Мёбиуса вдоль оси.
Лист Мёбиуса был эмблемой известной серии научно-популярных книг «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса». С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея А. Шепелёва «Echo» (СПб.: Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ - литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии - „мальчиков“ и „девочек“ - переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются». Еще один объект топологии - бутылка Клейна. Феликс Клейн - это математик, который первым исследовал эту поверхность, а вот почему "бутылка"? Ведь на бутылку это мало похоже. Вероятно, после какой-то деформации сходство с бутылкой становится ближе? Если муха захочет переползти с наружной поверхности обычной бутылки на внутреннюю или наоборот, ей непременно придется пересечь край, образуемый горлышком. В отличие от обычной бутылки бутылка Клейна не имеет края, а ее поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные, "стороны" листа Мебиуса. К сожалению, в трехмерном пространстве бутылку Клейна фактически реализовать сложно и невозможно, но в топологии изучаются не то, что возможно или нет, а просто какие возможны комбинации. Представим себе, что мы оттянули нижний конец трубки, загнули его вверх и, пропустив сквозь поверхность трубки, совместили с верхним концом. У реальной модели, изготовленной, например, из стекла, в том месте, где конец трубки проходит сквозь ее поверхность, придется оставить отверстие. Его не следует принимать во внимание: оно считается как бы затянутым продолжением поверхности бутылки. Иначе говоря, отверстия нет, есть только самопересечение поверхности бутылки. Такое самопересечение неизбежно до тех пор, пока мы имеем дело с трехмерной моделью. Если же мы представим себе, что вся поверхность погружена в четырехмерное пространство, то самопересечение можно будет полностью исключить. Известный специалист по алгебраической геометрии Д. Пидо написал книгу под названием "Прекрасное искусство математики". Это великолепная книга, однако профессор Пидо, следуя установившейся традиции, допускает там неверное утверждение. Он пишет, что изготовить бутылку Клейна под силу лишь искусному стеклодуву, сделать же бутылку Клейна "из бумаги совсем невозможно". Действительно, в то время, когда профессор Пидо писал свою книгу, никто даже не пытался склеить бумажную модель бутылки Клейна. Но так продолжалось лишь до тех пор, пока за дело не взялся Стифен Барр, писатель-фантаст, а на досуге - большой любитель занимательной математики. Барр довольно быстро придумал множество способов складывания из бумаги моделей бутылки Клейна и даже написал книгу о топологических развлечениях. В книге Барра приводится множество новых способов, позволяющих складывать из обыкновенного листа бумаги изящные топологические модели. Бутылка Клейна является замкнутой односторонней поверхностью, если налить в такую бутылку воду, то вылить ее обратно уже будет совершенно невозможно. Итак, топология – это особый раздел геометрии, в котором нет места понятиям расстояние, форма, угол. Линия не бывает здесь прямой или кривой - это просто линия. Поверхность не может быть вогнутой или выпуклой, или плоской - это бессмысленные для топологии слова. Но, например, отрезок и замкнутую линию - это топологически разные объекты. Объекты топологии бывают односторонние и двусторонние. Например, куб - двусторонняя поверхность, лист Мебиуса –односторонняя. Но этот, казалось бы, странный раздел математики тесно связан с реальным миром. Например, электрическая цепь – понятие топологическое, поскольку существенно не расположение ее элементов в пространстве, а связи между ними. Топология графов (раздел топологии, занимающийся изучением сетей) имеет первостепенное значение при проектировании сложных электрических цепей. С топологией мы сталкиваемся в ткацком деле и вязании. Заузленная петля остается заузленной («не развязывается») при любых деформациях. Топологически она отличается от незаузленной петли. Текстильщики упражняются в топологии, пытаясь создать ткани с особыми топологическими свойствами, которые, например, можно связать целиком из одной нити или которые не «ползут» при обрыве одной нити: чтобы ткань
Существуют и технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. Линии на карте-схеме Московского метрополитена сильно искажены по сравнению с реальными путями. Тем не менее, каждой точке путей
Но настоящая топология – пока еще не нашла широкого применения на практике (ни один из ее разделов не связан с производственной деятельностью так тесно, как, например, арифметика с банковским делом) и по-прежнему остается «площадкой для игр» теоретиков, теоремы топологии, хотя они и доказаны вполне строго, не находят столь прямых приложений, как, например, теоремы геометрии. Содержание статьи
ТОПОЛОГИЯ,
раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Непрерывная деформация – это деформация фигуры, при которой не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний (т.е. отождествления ее точек). Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры. В отличие от евклидовой и римановой геометрий, геометрии Лобачевского и других геометрий, занимающихся измерением длин и углов, топология имеет неметрический и качественный характер. Раньше она носила названия «анализ ситус» (анализ положения), а также «теория точечных множеств». В научно-популярной литературе топологию часто называют «геометрией на резиновом листе», поскольку ее наглядно можно представлять себе как геометрию фигур, нарисованных на идеально упругих резиновых листах, которые подвергаются растяжению, сжатию или изгибанию. Топология – один из новейших разделов математики. В 1640 французский философ и математик Р.Декарт (1596–1650) нашел инвариантное соотношение между числом вершин, ребер и граней простых многогранников. Это соотношение Декарт выразил формулой V – E + F
= 2, где V
– число вершин, E
– число ребер и F
– число граней. В 1752 швейцарский математик Л.Эйлер (1707–1783) дал строгое доказательство этой формулы. Еще один вклад Эйлера в развитие топологии – это решение знаменитой задачи о кёнигсбергских мостах. Речь шла об острове на реке Прегель в Кёнигсберге (в том месте, где река разделяется на два рукава – Старый и Новый Прегель) и семи мостах, соединяющих остров с берегами. Задача состояла в том, чтобы выяснить, можно ли обойти все семь мостов по непрерывному маршруту, побывав на каждом только один раз и вернувшись в исходную точку. Эйлер заменил участки суши точками, а мосты – линиями. Полученную конфигурацию Эйлер назвал графом, точки – его вершинами, а линии – ребрами. Вершины он разделил на четные и нечетные в зависимости от того, четное или нечетное число ребер выходит из вершины. Эйлер показал, что все ребра графа можно обойти ровна по одному разу по непрерывному замкнутому маршруту, лишь если граф содержит только четные вершины. Так как граф в задаче о кёнигсбергских мостах содержит только нечетные вершины, мосты невозможно обойти по непрерывному маршруту, побывав на каждом ровно по одному разу и вернувшись к началу маршрута. Предложенное Эйлером решение задачи о кенигсбергских мостах зависит только от взаимного расположения мостов. Оно положило формальное начало топологии как разделу математики. К.Гаусс (1777–1855) создал теорию узлов, которой позднее занимались И.Листинг (1808–1882), П.Тэйт (1831–1901) и Дж.Александер. В 1840 А.Мёбиус (1790–1868) сформулировал так называемую проблему четырех красок, которую впоследствии исследовали О.де Морган (1806–1871) и А.Кэли (1821–1895). Первым систематическим трудом по топологии были Предварительные исследования по топологии
Листинга (1874). Основателями современной топологии являются Г.Кантор (1845–1918), А.Пуанкаре (1854–1912) и Л.Брауэр (1881–1966). Топологию можно подразделить на три области: 1) комбинаторную топологию, изучающую геометрические формы посредством их разбиения на простейшие фигуры, регулярным образом примыкающие друг к другу; 2) алгебраическую топологию, занимающуюся изучением алгебраических структур, связанных с топологическими пространствами, с упором на теорию групп; 3) теоретико-множественную топологию, изучающую множества как скопления точек (в отличие от комбинаторных методов, представляющих объект как объединение более простых объектов) и описывающую множества в терминах таких топологических свойств, как открытость, замкнутость, связность и т.д. Разумеется, такое деление топологии на области в чем-то произвольно; многие топологи предпочитают выделять в ней другие разделы. Топологическое пространство
состоит из множества точек S
и набора S подмножеств множества S
, удовлетворяющего следующим аксиомам: (1) все множество S
и пустое множество принадлежат набору S; (2) объединение любой совокупности множеств из S есть множество из S; (3) пересечение любого конечного числа множеств из S есть множество из S. Множества, входящие в набор S, называются открытыми множествами
, а сам этот набор – топологией
в S
. См
. МНОЖЕСТВ ТЕОРИЯ. Топологическое преобразование
, или гомеоморфизм
, одной геометрической фигуры S
на другую, S
ў, – это отображение (p
® p
ў) точек p
из S
в точки p
ў из S
ў, удовлетворяющее следующим условиям: 1) устанавливаемое им соответствие между точками из S
и S
ў взаимно однозначно, т.е. каждой точке p
из S
соответствует только одна точка p
ў из S
ў и в каждую точку p
ў отображается только одна точка p
; 2) отображение взаимно непрерывно (непрерывно в обе стороны), т.е. если заданы две точки p
, q
из S
и точка p
движется так, что расстояние между ней и точкой q
стремится к нулю, то расстояние между соответствующими точками p
ў, q
ў из S
ў также стремится к нулю, и наоборот. Геометрические фигуры, переходящие одна в другую при топологических преобразованиях, называются гомеоморфными
. Окружность и граница квадрата гомеоморфны, так как их можно перевести друг в друга топологическим преобразованием (т.е. изгибанием и растяжением без разрывов и склеиваний, например, растяжением границы квадрата на описанную вокруг него окружность). Сфера и поверхность куба также гомеоморфны. Чтобы доказать гомеоморфность фигур, достаточно указать соответствующее преобразование, но тот факт, что для каких-то фигур найти преобразование нам не удается, не доказывает, что эти фигуры не гомеоморфны. Здесь помогают топологические свойства. Топологическим свойством
(или топологическим инвариантом
) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. Любое открытое связное множество, содержащее по крайней мере одну точку, называется областью
. Область, в которой любую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную окружности) кривую можно стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, называется односвязной
односвязностью
. Если же некоторую замкнутую простую кривую этой области нельзя стянуть в точку, оставаясь все время в этой области, то область называется многосвязной
, а соответствующее свойство области – многосвязностью
. Представьте себе две круговые области, или диски, одну без дыр, а другую с дырами. Первая область односвязна, вторая многосвязна. Односвязность и многосвязность – топологические свойства. Область с дырой не может перейти при гомеоморфизме в область без дыр. Интересно отметить, что если в многосвязном диске провести по разрезу от каждой из дыр до края диска, то он станет односвязным. Максимальное число замкнутых простых непересекающихся кривых, по которым можно разрезать замкнутую поверхность, не разделяя ее на отдельные части, называется родом
поверхности. Род – топологический инвариант поверхности. Можно доказать, что род сферы равен нулю, род тора (поверхности «бублика») – единице, род кренделя (тора с двумя дырками) – двум, род поверхности с p
дырами равен p
. Отсюда следует, что ни поверхность куба, ни сфера не гомеоморфны тору. Среди топологических инвариантов поверхности можно также отметить число сторон и число краев. Диск имеет 2 стороны, 1 край и род 0. Тор имеет 2 стороны, не имеет краев, а его род равен 1. Введенные выше понятия позволяют уточнить определение топологии: топологией называется раздел математики, изучающий свойства, которые сохраняются при гомеоморфизмах
. Если на поверхности проведена простая замкнутая кривая, то существует ли какое-либо свойство кривой, которое сохраняется при деформации поверхности? Существование такого свойства вытекает из следующей теоремы: простая замкнутая кривая на плоскости делит плоскость на две области, внутреннюю и внешнюю
. Эта кажущаяся тривиальной теорема очевидна для кривых простого вида, например, для окружности; однако для сложных замкнутых ломаных дело обстоит иначе. Теорема была впервые сформулирована и доказана К.Жорданом (1838–1922); однако доказательство Жордана оказалось ошибочным. Удовлетворительное доказательство было предложено О.Вебленом (1880–1960) в 1905. Пусть D
– замкнутая область, состоящая из окружности и ее внутренности. Теорема Брауэра утверждает, что для любого непрерывного преобразования, переводящего каждую точку области D
в точку этой же области, существует некоторая точка, которая остается неподвижной при этом преобразовании. (Преобразование не предполагается взаимно однозначным.) Теорема Брауэра о неподвижной точке представляет особый интерес потому, что она, по-видимому, является, наиболее часто используемой в других разделах математики топологической теоремой. Проблема заключается в следующем: можно ли любую карту раскрасить в четыре цвета так, чтобы любые две страны, имеющие общую границу, были раскрашены в различные цвета? Проблема четырех красок топологическая, так как ни форма стран, ни конфигурация границ не имеют значения. Гипотеза о том, что четырех красок достаточно для соответствующей раскраски любой карты, была впервые высказана в 1852. Опыт показал, что четырех красок действительно достаточно, но строгого математического доказательства не удавалось получить на протяжении более ста лет. И только в 1976 К.Аппель и В.Хакен из Иллинойского университета, затратив более 1000 часов компьютерного времени, добились успеха. Простейшей односторонней поверхностью является лист Мёбиуса
, названный так в честь А.Мёбиуса, открывшего его необычайные топологические свойства в 1858. Пусть ABCD
(рис. 2,а
) – прямоугольная полоска бумаги. Если склеить точку A
с точкой B
, а точку C
с точкой D
(рис. 2,б
), то получится кольцо с внутренней поверхностью, наружной поверхностью и двумя краями. Одну сторону кольца (рис. 2,б
) можно окрасить. Окрашенная поверхность будет ограничена краями кольца. Жук может совершить «кругосветное путешествие» по кольцу, оставаясь либо на окрашенной, либо на неокрашенной поверхности. Но если полоску перед склеиванием концов перекрутить на полоборота и склеить точку A
с точкой C
, а B
с D
, то получится лист Мёбиуса (рис. 2,в
). У этой фигуры есть только одна поверхность и один край. Любая попытка окрасить только одну сторону листа Мёбиуса обречена на неудачу, так как у листа Мёбиуса всего одна сторона. Жук, ползущий по середине листа Мёбиуса (не пересекая края), вернется в исходную точку в положении «вверх ногами». При разрезании листа Мёбиуса по средней линии он не распадается на две части. Узел можно представлять себе как запутанный кусок тонкой веревки с соединенными концами, расположенный в пространстве. Простейший пример – из куска веревки сделать петлю, пропустить один из ее концов сквозь петлю и соединить концы. В результате мы получим замкнутую кривую, которая остается топологически той же самой, как бы ее ни растягивать или скручивать, не разрывая и не склеивая при этом отдельные точки. Проблема классификации узлов по системе топологических инвариантов пока не решена. Для задания на множестве X некоторой топологии Ω нет необходимости указывать непосредственно
все подмножества семейства Ω. Существует другой очень удобный способ построения топологии с помощью понятия базы. Совокупность β открытых множеств пространства (X,Ω) называется базой топологии
Ω или базой пространства
(X,Ω), если всякое непустое открытое множество топологического пространства (X,Ω) можно представить в виде объединения
некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. В частности, X равно объединению всех множеств базы. Теорема 1.9.
Совокупность β открытых множеств топологии Ω является базой этой топологии тогда и только тогда,
когда для всякого открытого множества U Ω
и для всякой точки х U существует множество
V β такое,
что х V U. Доказательство.
Пусть β - база топологии Ω. U - произвольное открытое
множество из семейства Ω, х - произвольная точка множества U. Тогда, по определению базы, множество
, где - некоторое
семейство множеств, принадлежащих совокупности β. Так как х U,
то найдется индекс α 0 J такой,
что х V α0 β,
и V α0 U.
Обратно, если U - произвольное открытое множество из семейства Ω, то для любой точки
х U
найдется множество V x β такое, что
х V x U.
Непосредственно проверяется, что объединение
всех таких V x совпадает с U: . Таким образом, любое открытое множество из семейства Ω
является объединением некоторой совокупности множеств, принадлежащих β. Значит, β является, по определению,
базой топологии Ω. Теорема доказана. Система подмножеств S α
из X называется покрытием
X, если объединение совпадает с X.
Покрытие S называется открытым
, если
каждое S α открыто в пространстве (X,Ω). В частности, база пространства (X,Ω) является открытым покрытием X. Однако не всякое покрытие X может служить
базой некоторой топологии на X. Возникает вопрос: если - некоторое покрытие X, то при каких условиях можно
построить топологию на X так, чтобы данное семейство было базой этой топологии?
Отвечает на этот вопрос следующая теорема. Теорема 1.10.
Пусть .
Покрытие β = является
базой
некоторой топологии на X тогда и только тогда, когда для каждого V α из β,
каждого V β из β и для каждой точки x
V α V β
существует V γ β
такое, что x V γ (V α V β). Доказательство.
Пусть β = - база пространства (X,Ω).
Так как β Ω, то в силу аксиомы
в) топологического пространства пересечение любых двух множеств из совокупности β является открытым множеством,
т.е. V α V β
Ω.
Отсюда, по теореме 1.9 для любой точки х V α V β найдется
V γ β такое,
что x V γ (V α
V β). Обратно, пусть покрытие β удовлетворяет условию теоремы. Зададим семейство Ω, состоящее из пустого множества
и всевозможных объединений множеств из β. Покажем, что построенное семейство Ω удовлетворяет аксиомам
а) - в) топологического пространства. Аксиома а)очевидна: пустое множество
входит в Ω по условию, а множество
принадлежит Ω как объединение всех множеств из β. Проверим аксиому б).
Пусть - семейство множеств,
где U α Ω
для любого индекса α из J. Каждое множество U α является объединением некоторой совокупности
множеств из β: где V α,γ β
для каждого индекса α J и каждого
индекса γ G. Тогда , т.е. множество
является
объединением некоторой совокупности множеств из β и, следовательно, принадлежит семейству Ω.
Для проверки аксиомы в) достаточно показать, что пересечение любых двух множеств U, из Ω. принадлежит Ω.
Представим множества U, в следующем виде:
где
V γ β
для каждого γ G,
δ β для каждого δ D.
Рассмотрим пересечение .
Сначала убедимся в том, что каждое множество вида V γ δ
принадлежит Ω.
Действительно, для любой точки х V γ δ
по условию теоремы найдется множество W x β такое, что х W x V γ δ .
Следовательно, множество V γ δ = .
Полученное равенство показывает, что множество V γ δ Ω
как объединение некоторого семейства множеств из совокупности β.
Поэтому множество U
есть объединение некоторого семейства множеств, принадлежащих Ω, и значит, в силу аксиомы б), U Ω.
Таким образом, семейство Ω удовлетворяет аксиомам а) - в) топологического пространства,
т.е. является топологией на X, а покрытие β служит для Ω, по определению, базой. Теорема доказана. Заметим, что в доказательстве теоремы 1.10 указан способ построения топологии на X,
если задано покрытие β, удовлетворяющее условию теоремы. Можно ли сконструировать топологию на X, если задано произвольное покрытие ?
Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема 1.11.
Пусть - произвольное покрытие множества X.
Тогда семейство всевозможных конечных пересечений элементов из S образует базу некоторой топологии на X. Доказательство.
Проверим, что покрытие где К -
произвольное конечное подмножество из I, удовлетворяет критерию базы.
Заметив, что пересечение любых двух элементов семейства β снова является элементом семейства β,
применим теорему 1.10: для любых множеств U α , V β ,
принадлежащих β, положим V γ = V α V β .
Тогда V γ β как пересечение конечного числа множеств из S.
Следовательно, для любой точки х V α V β имеем: х V γ = (V α V β).
Таким образом, в силу теоремы 1.10, β является базой некоторой топологии на X. Теорема доказана. Семейство γ открытых подмножеств пространства (X,Ω) называется предбазой топологии
Ω,
если семейство β, состоящее из всевозможных конечных пересечений множеств из γ, образует базу топологии Ω. Теорема 1.11 утверждает, что каждое покрытие множества X является предбазой
некоторой топологии на X. Очевидно, всякая база пространства является и его предбазой.
Как правило, у топологии есть много баз и предбаз.
Предпочтение может быть отдано той или иной из них в зависимости от решаемой задачи.
при обрыве волокна не «поползла», разработана сложная
система узлов и переплетений.
соответствует точка на схеме, и любые две точки, соединенные
на карте, соединены в действительности: схема и лондонская «подземка» топологически эквивалентны.
История.
Разделы топологии.
Некоторые основные понятия.
Важные проблемы и результаты.
Теорема Жордана о замкнутой кривой.
Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Проблема четырех красок.
Односторонние поверхности.
Узлы.
