Теория множеств. V. Декартово произведение множеств. III. Операции и свойства операций над множествами

К началу ХХ века стройное здание теории множеств стало давать трещины. Привычные рассуждения перестали казаться безупречными ввиду обнаружившихся противоречий – антиномий теории множеств. Это привело к пересмотру основных концепций теории – содержания самого понятия множества, принципов формирования множеств и т.д. Попытки разрешить противоречия стимулировали развитие аксиоматической теории множеств. Приведём примеры теоретико-множественных антиномий.

Антиномия Рассела . Если– некоторое множество, то, как правило,
т.е.не содержит себя в качестве элемента. Однако если, скажем,– множество всех множеств, то
Обозначим черезсовокупность всех таких множеств
что
Содержит ли множествосебя в качестве элемента? Если
то для множестваусловие
не соблюдается; значит,
Если же
тоудовлетворяет условию
значит,
Итак, оба предположения,
и
приводят к противоречию.

В качестве одного из путей разрешения этого парадокса было предложено не считать способ формирования множества корректным. Такая точка зрения серьёзно отличалась от представлений “наивной” теории множеств, где считалось, что всякое чётко определённое правило позволяет сформировать множество. Вопрос о том, какие правила следует считать чётко определёнными, а какие нет, является трудным и не имеет к настоящему времени удовлетворительного ответа. Кроме того, следует, по-видимому, запретить множества
удовлетворяющие соотношениям вида

и т.д., а также убывающие цепочки вида

Антиномия “деревенский парикмахер” является вариантом парадокса Рассела. Предположим, что в некоторой деревне поселился парикмахер, который решилбрить всех, кто не бреется сам. Должен ли он брить самого себя? Если да, то значит, он не бреется сам, поэтому он себя не бреет – противоречие. Если нет, то он сам не бреется, поэтому он должен себя брить, и мы опять получаем противоречие.

В этом парадоксе условие “брить всех, кто не бреется сам” является противоречивым, а потому невыполнимым. Природу этой внутренней противоречивости нельзя считать выясненной до конца. Ещё менее ясным кажется ответ на вопрос, какие условия являются противоречивыми, а какие нет.

Антиномия Кантора . Пусть
– множество всех множеств, а
– множество всех его подмножеств. Так как
содержит все множества, то
поэтому
Однако по теореме Кантора
– противоречие.

В отличие от предыдущих антиномий, в которых участвовали лишь самые простейшие понятия теории множеств, в антиномии Кантора присутствуют более сложные понятия: множество всех подмножеств, отображение, взаимно однозначное соответствие. Этого парадокса можно избежать, если запретить использование “множества всех множеств”. В тех аксиоматических системах, где допускается класс всех множеств , теорема Кантора доказывается в более слабой форме.

Примером логического парадокса является парадокс лжеца.

Антиномия Эвбулида (илипарадокс лжеца ). Предположим, что некоторый субъект произносит фразу:“высказывание, которое я сейчас произношу, ложно” . Истинно это высказывание или ложно? Если оно истинно, то субъект сказал правду, а значит, это высказывание ложно. Если же оно ложно, то аналогичные рассуждения показывают, что оно истинно.

Один из путей выхода из создавшегося положения – признать, что не про всякое суждение можно сказать, истинно оно или ложно.

Преодолеть теоретико-множественные антиномии можно созданием строгой аксиоматической теории. Вопрос о непротиворечивости создаваемой аксиоматической теории, за редким исключением, является трудным и достаточно тонким (исключение, например, составляет исчисление высказываний, для которого вопрос о непротиворечивости был решён в предыдущей главе сравнительно просто). До сих пор в аксиоматике теории множеств Цермело – Френкеля, излагаемой ниже, противоречий обнаружено не было. Однако это обстоятельство лишь придаёт нам уверенность в непротиворечивости теории, но не служит доказательством непротиворечивости. Часто непротиворечивость какой-либо теории выводят из непротиворечивости другой теории, вызывающей меньшее сомнение. Например, непротиворечивость геометрии Лобачевского (утверждающей, что через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную) может быть доказана, если принять в качестве факта непротиворечивость евклидовой геометрии. Аналогичным образом из непротиворечивости теории множеств можно вывести непротиворечивость теории действительных чисел.

Введение

Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории множеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснования теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание составляют те фундаментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся теорий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом

Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном является системой того же типа, что и система, предложенная первоначально фон Нейманом , , а затем тщательно пересмотренная и упрощенная Р. Робинсоном , Бернайсом и Гёделем . (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными отклонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву

и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса и Гёделя , мы будем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, … прописные латинские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обозначения произвольных переменных.) Мы введем также сокращенные обозначения ХY для(X, Y) и XY для (X, Y). Содержательно знак понимается как символ отношения принадлежности.

Следующим образом определим равенство:

Определение. Х=Y служит сокращением для формулы

.

Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение.

служит сокращением для формулы (включение).

Определение. X

Y служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (собственное включение).

Из этих определений легко следует

Предложение 1.

Х = Y (X Y & Y X); Х = Х; Х = Y Y = Х; Х = Y (Y = Z Х = Z); Х = Y (ZX ZY).

Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, однако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы - это совокупности, соответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необходимых в математике классов и являются, достаточно скромными, чтобы из них нельзя было вывести противоречие). (Эта «интерпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)

Назовем класс множеством, если он является элементом какого-нибудь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным классом.

Определение. M(X) служит сокращением для

Y(XY) (X есть множество).

Определение. Pr(X) служит сокращением для

M(X) (X есть собственный класс).

В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоящему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми математики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как собственные классы мыслятся как чудовищно необъятные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.

Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о предметах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что математика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная модификация системы NBG позволяет применить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский ).

Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, … в качестве специальных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами,

x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X)A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что употребленная в этом определении переменная X должна быть отличной от переменных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употребляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)

П р и м е р. Выражение

ХхyZA (X, х, y, Z) служит сокращением для ХXj (М(Xj)Y(M(Y)&ZA (X, Xj, Y, Z))).

А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y

Аксиоматика теории множеств

Пояснение к аксиомам ZFC

Аксиомы ZFC включают в себя:

0) группу высказываний о равенстве множеств (1 аксиома),

1) группу высказываний о существовании множеств (2 аксиомы),

2) группу высказываний об образовании множеств из уже имеющихся множеств (3 аксиомы и 2 схемы), в которой можно выделить три подгруппы,

3) группу высказываний об упорядоченности образованных множеств (2 аксиомы).

0. Критерий равенства множеств в ZFC

Следующее высказывание выражает необходимое условие идентичности двух множеств.

Аксиома экстенсиональности (Аксиома объёмности)

Примечание

«Аксиому объёмности» можно сформулировать следующим образом: «Если каждый элемент первого множества принадлежит второму множеству, а каждый элемент второго множества принадлежит первому множеству, тогда первое множество идентично второму [множеству].»

Достаточное условие идентичности двух множеств имеет вид и выводится из аксиом предиката , а именно:

, , где - любое математически корректное суждение об , а - то же самое суждение, но об .

Соединение указанного достаточного условия [идентичности множеств] с аксиомой объёмности даёт следующий критерий равенства множеств:

1. Аксиомы ZFC о существовании множеств

«Аксиома объёмности» была бы бесполезным высказыванием, если бы не существовало ни одного множества или существовало только одно множество.

Следующие два высказывания гарантируют существование по меньшей мере двух разных множеств, а именно: а) множества, в котором нет ничего, и б) множества, содержащего бесконечное количество элементов.

Примечание

«Аксиому [существования] пустого множества» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] множество без единого элемента.»

Доказывается, что «аксиома пустого множества» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя. Употребительны два имени: и . Используя указанные имена, «аксиому пустого множества» записывают так:

и , где

Примечание

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из .»

Высказывание о существовании бесконечного множества отличается от (ложного в данной аксиоматике) высказывания о существовании «множества всех множеств» ().

2. Аксиомы ZFC об образовании множеств

Следующие пять высказываний можно назвать аксиомами образования множеств [из имеющихся множеств, включая и по меньшей мере одну ].

Каждое из этих пяти высказываний создано на основе высказывания , которое выводится из аксиом предиката .

Эти пять высказываний можно объединить в следующие подгруппы:

2.0) группу постулатов об образовании множеств путём перечисления их элементов,

2.1) группу деклараций об учреждении и об упразднении семейств множеств,

2.2) группу схем образования множеств с помощью математически корректных суждений.

2.0. Постулаты об образовании множеств путём перечисления их элементов

Простейший способ образовать новое множество [из уже имеющихся множеств] состоит в том, чтобы «ткнуть пальцем» в каждое множество, которое должно стать элементом [образуемого множества]. В ZFC указанный способ образования множеств представлен одной аксиомой, в которой «тыканье пальцем» моделируется с помощью предиката .

, что есть

Примечание

«Аксиому [неупорядоченной] пары» можно сформулировать следующим образом: «Из любых двух множеств можно образовать „неупорядоченную пару“, то есть такое множество , каждый элемент которого идентичен данному множеству или данному множеству ».

Примеры

Доказывается, что «аксиома пары» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, «аксиому пары» записывают так:

или

Следующие две аксиомы, именуемые «аксиомой множества подмножеств» и «аксиомой объединения», можно рассматривать как естественное дополнение к «аксиоме пары». Чтобы убедиться в этом, заметим следующее.

Известно, что каждое множество имеет подмножества , включая [копию пустого множества] и [копию самого множества] . Иначе говоря,

.

Руководствуясь «аксиомой пары», из названных подмножеств можно образовать неупорядоченную пару . Назовём эту пару семейством .

Если можно образовать семейство из двух подмножеств множества , тогда можно объявить об образовании семейства из всех подмножеств множества .

Чтобы объявить об образовании семейства достаточно потребовать, чтобы каждый элемент названного семейства был подмножеством множества , а каждое подмножество названного множества было элементом семейства . Иначе говоря, , что равносильно предложению , , .

Если можно объявить об учреждении семейства , тогда можно объявить об упразднении названного семейства.

Мыслимы различные способы упразднения семейства , включая: 1) его полное упразднение (уничтожение), то есть , что равносильно , 2) его фиктивное упразднение (резервирование), то есть , что равносильно , 3) его реверсивное упразднение (расформирование), то есть , что равносильно . Поскольку , постольку предложение равносильно предложению , которое подразумевает предложение , которое является частным случаем высказывания .

Из изложенного следует, что высказывания и можно считать независимыми условно.

2.1.0 Аксиома множества подмножеств (Аксиома булеана)

, что есть , где

Примечание

«Аксиому множества подмножеств» можно сформулировать следующим образом: «Из любого множества можно образовать „суперкучу“, то есть такое множество , каждый элемент которого является [собственным либо несобственным] подмножеством данного множества .»

Примеры , так как

Доказывается, что «аксиома множества подмножеств» равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «множество всех подмножеств [множества] » или «булеан [множества] ». Используя указанное имя, «аксиому множества подмножеств» записывают так:

или , что есть

Примечание

Аксиому объединения [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства множеств можно образовать „кучу-малу“, то есть такое множество , каждый элемент которого принадлежит по меньшей мере одному множеству данного семейства ».

Примеры

Доказывается, что аксиома объединения равносильна высказыванию . Поэтому единственному множеству можно присвоить имя , которое произносится: «объединение множеств семейства ». Используя указанное имя, аксиому объединения записывают так:

или .

Объединение множеств семейства () не следует путать с пересечением множеств семейства (), о котором известно:

, то есть

2.2. Схемы образования множеств с помощью математически корректных суждений

Среди математических высказываний встречаются аксиомы связи, включая:

а) аксиому связи между алгебраической операцией (сложить) и алгебраической операцией (умножить)

,

б) аксиому связи между отношением порядка (меньше или равно) и алгебраической операцией (сложить)

Следующие два высказывания, именуемые «схемой выделения» и «схемой преобразования», являются аксиомами связи между множествами (например, множеством ) и математически корректными суждениями (например, суждением ).

«Схема выделения» и «схема преобразования» выражают следующую простую мысль: «Каждое математически корректное суждение об элементах любого множества приводит к образованию [того же самого или другого] множества.»

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме выделения», позволяют «довести [до товарного вида]» множества, которые образованы, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны штихелям, надфелям, часовым отвёрткам и иным доводочным инструментам.

Математически корректные суждения, фигурирующие в «схеме преобразования», позволяют создавать «[математические] изделия» из ["неотёсанных"] множеств, образованных, например, с помощью аксиомы булеана. Поэтому указанные математические суждения аналогичны прецизионным станкам.

, что есть , где - любое математически корректное суждение о , но не о множестве и не о множестве .

Примечание

Схему выделения [подмножеств] можно сформулировать следующим образом: «Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество , высказав суждение о каждом элементе данного множества .»

Примеры

Доказывается, что схема выделения равносильна высказыванию . Поэтому единственному подмножеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему выделения записывют так:

или

Схема выделения равносильна счётному множеству аксиом.

, что есть

Примечание

Схему преобразования [множеств] можно сформулировать следующим образом: «Любое множество можно преобразовать в [то же самое или другое] множество , высказав любое истинное математически корректное функциональное суждение обо всех элементах данного множества .»

Примеры

Доказывается, что в схеме преобразования множество единственно. Поэтому указанному множеству можно присвоить имя . Используя указанное имя, схему преобразования записывают так:

или

Схема преобразования равносильна счётному множеству аксиом.

3. Аксиомы ZFC об упорядоченности множеств

Следующие два высказывания определяют упорядоченность множеств, которые образованы из и каждой с помощью аксиом образования множеств. Образно говоря, высказывания об упорядоченности множеств образуют «сортировочный цех» теории ZFC, тогда как высказывания об образовании множеств образуют «производственный цех» этой теории.

Примечание

«Аксиому регулярности» можно сформулировать следующим образом: «В любом семействе множеств есть [по меньшей мере одно] множество , каждый элемент которого не принадлежит данному семейству .»

Примеры Сравните с высказываниями и , а также . Сравните с высказываниями и . Сравните с высказываниями и .

Примечание

«Аксиому выбора» можно сформулировать следующим образом: «Из любого семейства непустых попарно непересекающихся множеств можно выбрать „делегацию“, то есть такое множество , в котором есть по одному элементу от каждого множества данного семейства .»

Пример Предположим, что семейство образовано из множества неотрицательных чётных чисел и множества неотрицательных нечётных чисел. В таком случае, выполнены все условия «аксиомы выбора», а именно: , , . Следовательно, можно образовать по меньшей мере одну «делегацию» в составе одного «делегата» (например, нуля) от множества и одного «делегата» (например, единицы) от множества . Действительно: . .

Примечания

1. Если ZFC непротиворечива, то ее непротиворечивость не может быть доказана средствами ZFC, согласно второй теореме Гёделя.

Здесь мы введем аксиомы, на которых будет основано все наше дальнейшее изложение теории множеств. Эти аксиомы позволяют строить новые множества из уже имеющихся множеств, и в этом смысле они не отличаются от аксиом, приведенных в главе I. Существенное различие заключается в том, что здесь мы будем рассматривать множества, у которых элементы сами являются множествами, то есть будем рассматривать семейство множеств (A, B, X, Y, …).

Повторим, прежде всего, аксиому объемности.

I . Аксиома объемности.

Если множества A и B составлены из одних и тех же элементов, то они совпадают.

С помощью символов эту аксиому можно записать в виде:

II . Аксиома существования пустого множества.

Существует такое множество
, что ни один элемент x ему не принадлежит:

.

II ".Аксиома пары.

Для произвольных a и b существует множество, единственными элементами которого являются a и b :

.

III . Аксиома суммы. Для каждого семейства множеств
существует множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат некоторому множеству
, принадлежащему
: .

Согласно аксиоме I, существует не более одного такого множества S .

Действительно, если

для произвольного x

и, согласно аксиоме I,
.

Так как, аксиома III утверждает существование по крайней мере одного такого множества S , то отсюда следует, что для каждого
множестваS определено однозначно. Назовем его суммой множеств , принадлежащих семейству
, и будем обозначатьS (A ) или
.

IV . Аксиома степени. Для каждого множества A существует семейство множеств P , элементами которого являются все подмножества множества A и только они:
.

Легко доказать, что множество A однозначно определяет семейство P . Оно (P ) называется его (A ) степенью и обозначается
.

V . Аксиома бесконечности. Существует такое семейство множеств A , которому принадлежит O и, если
, то в A найдется элемент Y , состоящий из всех элементов множества X и самого множества X :

.

Таким образом, семейству A принадлежит множество O , множество N 1 , единственными элементами которого являются O и N 1 , и так далее.

VI . Аксиома выбора. Для каждого семейства A пустых непересекающихся множеств существует множество B , имеющее один общий элемент с каждым из множеств
:

Чтобы облегчить чтение этого выражения, заметим, что высказывательная функция утверждает существование такого элементаx , что условия
и
эквивалентны. Поэтому элементx – единственный элемент произведения
, и рассматриваемая высказывательная функция утверждает, что это произведение имеет только один элемент.

Для произвольной высказывательной функции Ф(x ) примем следующую аксиому:
.

- это аксиома зависит от остальных, поэтому мы не даем ей отдельного номера.

. Аксиома выделения для высказывательной функции Ф. Для произвольного множества A существует множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A , которые (будучи подставлены на место переменных x ) удовлетворяют Ф.

Символически эту аксиому можно записать в следующем виде (полагая, что переменная B не встречается в Ф ):

Если в Ф(x ) встречаются (свободные) переменные, отличные от x , то они играют роль параметров, от которых зависит B .

Очевидно, что множество B однозначно определяется высказывательной функцией Ф(x ) , множеством A и выбором переменной x .

Мы будем обозначать его
или
и читать: «множество техx из A , которые удовлетворяют Ф(x ) ».

Для каждой высказывательной функции, не содержащей переменных x и B , примем следующую аксиому.

. Аксиома замены для высказывательной функции Ф. Если для каждого x существует единственный элемент y , такой, что выполняется Ф( x ), то для каждого множества A существует множество B , состоящее из тех и только тех элементов y , которые при некотором
выполняют Ф( x ).

Положим интуитивный смысл этой аксиомы. Допустим, что условие аксиомы истинно, то есть для каждого x существует только один элемент y , выполняющий Ф(x ) . Назовем этот элемент y последователем элемента x . Аксиома
утверждает, что тогда для каждого множестваA существует множество B , состоящее из всех последователей элементов множества A и только из них.

Например, пусть
, тогда последователем множестваX будем множество 2 x . Аксиома замены утверждает, что для каждого семейства множества A существует семейство множеств B , элементами которого является множество 2 x , где
.

Аксиомы I – VI и все аксиомы
(а из число бесконечно), гдеФ – произвольная высказывательная функция из класса , образуют (бесконечную) систему аксиом, которую мы будем обозначать
. Опуская в
аксиому выбора (VI), получаем новую систему аксиом и обозначим ее .

Роль, которую в теории множеств играют отдельные аксиомы, можно полностью оценить только после знакомства с их следствиями. Здесь мы сделаем только несколько общих заключений.

Аксиомы в математических теориях могут играть двоякую роль.

В одних случаях аксиомы полностью характеризуют теорию, то есть они в каком-то смысле определяют первичные понятия этой теории.

Например, в теории групп мы определяем группу как множество с операциями, удовлетворяющими аксиомам этой теории.

В других случаях аксиомы формализуют только некоторые свойства первичных понятий теории и тогда их цель не в том, чтобы дать полное описание первичных понятий, а скорее в том, чтобы дать систематизацию интуитивного смысла этих понятий.

Именно вот такое назначение и будут иметь аксиомы в дальнейших разделах теории множеств.

Аксиомы III, IV, VI,
являются так называемымиусловными аксиомами существования : они позволяют делать заключения о существовании определенных множеств при условии, что существуют другие множества.

Конструкции, осуществляемые на основе аксиом III, IV, VI,
, однозначны.

В то же время аксиома VI не определяет однозначно множество, существование которого она утверждает: для данного семейства A непустых непересекающихся множеств существует, вообще говоря, много множеств B удовлетворяющих аксиоме выбора.

Аксиомы II и V заслуживают названия абсолютных аксиом существования: они постулируют существование некоторых множеств и не ограничены никакими условиями.

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Направление в математич. логике, занимающееся изучением фрагментов содержательной теории множеств методами математич. логики. Обычно с этой целью фрагменты теории множеств оформляются в виде формальной аксиоматич. теории. В более узком смысле термин "А. т. м." может служить для обозначения к.-л. формальной аксиоматич. теории, направленной на построение нек-рого фрагмента содержательной ("наивной") теории множеств.

Теория множеств, возникшая на рубеже 19-20 вв., уже в самом начале своего развития натолкнулась на парадоксы. Открытие таких фундаментальных парадоксов, как Рассела и Кантора (см. Антиномия ), вызвало широкую дискуссию и способствовало коренному пересмотру логико-математич. принципов. Аксиоматич. в теории множеств можно рассматривать как инструмент более детального изучения положения дел в создавшейся ситуации.

Построение формальной А. т. м. начинается с точного описания языка, на к-ром формулируются утверждения. Затем принципы "наивной" теории множеств выражаются на описанном языке в виде аксиом, схем аксиом. Ниже дано краткое описание нек-рых наиболее распространенных систем А. т. м. Важную роль при этом играет язык, содержащий следующие исходные символы: 1) переменные к-рые в языке играют роль общих имен множеств; 2) предикатные символы е (знак принадлежности) и = (знак равенства); 3) дескрипции (означающий "такой , что..."); 4) логические связки и кванторы: (эквивалентно), (влечет), (или), (и), (не), (для всех), (существует); 5) скобки (,). Выражения языка делятся на термы и формулы. Термы являются именами множеств, а формулы выражают суждения. Термы и формулы образуются согласно следующим правилам.

П1. Если - переменные или термы, то и суть формулы.

П2. Если Аи В - формулы и х - переменная, то суть формулы и - терм; переменная хесть терм.

Упорядоченная пара хи у:

Объединение хи у :

Пересечение хи у:

Объединение всех элементов х:

Декартово х и у :

wесть функция:

Значение функции на элементе х:

zесть стандартное бесконечное множество:

Следующая аксиоматич. А наиболее полно отражает принципы "наивной" теории множеств. Аксиомы А:

А1. объемности:

("если множества уи z содержат одни и те же элементы, то они равны");

А2. аксиомы свертывания:

где А - произвольная формула, не содержащая в качестве параметра у("существует множество у, содержащее те и только те элементы х, для к-рых А" ).

Описанная система противоречива. Если в А2 в качестве Авзять формулу то из формулы легко выводится , что противоречиво.

Аксиоматич. системы теории множеств можно разделить на следующие четыре группы.

а) Построение аксиоматич. систем первой группы направлено на такое ограничение аксиом свертывания, к-рое обеспечивает наиболее естественный способ формализации обычных математич. доказательств и в то же время позволяет избежать известных парадоксов. Первой аксиоматикой такого рода была система Z Цермело (Е. Zermelo, 1908). Однако в системе Z невозможно естественным образом формализовать нек-рые разделы математики, и А. Френкель (A. Fraenkel, 1922) предложил пополнить Z новым принципом, названным им аксиомой подстановки. Полученная система наз. системой Цермело- Френкеля и обозначается ZF.

б) Вторую группу составляют системы, аксиомы к-рых выбраны в связи с к.-л. объяснением парадоксов, напр, как следствий непредикативных определений. Сюда относятся: разветвленная теория типов Рассела, простая теория типов Т, теории типов с трансфинитными индексами (см. Типов теория ).

в) Третья характеризуется использованием нестандартных средств логич. вывода, многозначных логик, дополнительных условий на доказательства, бесконечных правил вывода. Системы, относящиеся к этому направлению, наименее развиты.

г) Четвертая группа включает модификации систем первых трех групп, преследующие определенные логич. или математич. цели. Укажем только на системы NBG Неймана - Гёделя - Бернайса (J. Neumann - К. Godel-Р. Bernays, 1925) и NF Куайна (W. Quine, 1937). Построение системы NBG вызвано желанием иметь конечное аксиом для теории множеств, основанной на системе ZF. В NF реализуется стремление преодолеть понятий, имеющее место в теории типов.

Системы Z, ZF, NF можно формулировать в описанном выше языке. Правила вывода, а также так наз. логические аксиомы у этих систем совпадают и образуют прикладное предикатов 1-й ступени с равенством и оператором дескрипции. Укажем только аксиомы для равенства и оператора дескрипции:

где (х) - формула, не содержащая связанной переменной у(т. е. не имеющая вхождений вида iy), и (у).получается из формулы (х).заменой нек-рых свободных вхождений переменной хна у; где х означает "существует одно и только одно х", а формула получается из формулы (х).заменой всех свободных вхождений переменной хна терм Квантор выразим через кванторы и равенство.

Нелогические аксиомы системы Z:

Z1. аксиома объемности А1;

Z2. аксиома пары:

("существует множество {х, у}" );Z3. аксиома суммы:

("существует множество z"); Z4. аксиома степени:

("существует множество Pz" );Z5. аксиома выделения:

("существует подмножество z, состоящее из тех элементов х, для к-рых имеет место (х)");аксиомы Z2 -Z5 являются примерами аксиом свертывания; Z6. аксиома бесконечности:

Z7. аксиома выбора:

("для всякого множества существует выбирающая из каждого непустого элемента хмножества z единственный элемент "). К этим аксиомам добавляют еще аксиому фундирования: Z8.

цель к-рой - постулировать, что не существует убывающих цепей Аксиома Z8 позволяет упростить построения в Z. Добавление этой аксиомы не вносит противоречия.

В системе Z можно развивать арифметику, анализ, рассматривать кардинальные числа, меньшие Однако если определить стандартным образом, то доказать в Z существование и более высоких кардиналов уже невозможно.

Система ZF получается из Z добавлением аксиом подстановки Френкеля, к-рым можно придать аксиом свертывания:

("существует множество у, состоящее из когда vпробегает все элементы множества z"). Иначе говоря, уполучается из z, если каждый элемент у из z заменить на

Система ZF является очень сильной теорией. Все обычные математич. теоремы формализуются в ZF.

Система NBG получается из системы ZF добавлением нового типа переменных - классовых переменных X, Y, Z, ... и конечного числа аксиом образования классов, позволяющих доказать формулы вида

где (х) - формула системы NBG, не содержащая связанных классовых переменных и символа i. Поскольку по каждой формуле (х).можно образовать , то бесконечное число аксиом ZF удается заменить конечным числом аксиом, содержащих классовую переменную. Аксиома выбора имеет вид:

и утверждает существование единой для всех множеств функции выбора, являющейся классом.

Система NF имеет наиболее простую аксиоматику, а именно: 1) аксиому объемности и 2) те аксиомы свертывания, в к-рых формулу Аможно стратифицировать, т. е. приписать всем переменным формулы Аверхние индексы таким образом, чтобы получилась формула теории типов Т, т. е. в подформулах вида хeуиндекс у хна единицу меньше, чем у y.

Система NF обладает следующими особенностями:

а) выбора аксиома и обобщенная континуум-гипотеза опровержимы;

б) бесконечности аксиома доказуема;

в) аксиома объемности играет весьма существенную роль. Так, если аксиому объемности заменить несколько более слабой аксиомой:

допускающей много пустых множеств, а аксиомы свертывания NF оставить без изменения, то получится довольно слабая теория, именно: уже в формальной арифметике можно доказать полученной системы.

Ниже приведены результаты о соотношениях между описанными системами.

(a) Всякая формула ZF доказуема в NBG тогда и только тогда, когда она доказуема в ZF.

(b) В ZF можно установить непротиворечивость Z, пополненной любым конечным числом примеров схемы аксиом подстановки ZF9. Таким образом, ZF значительно сильнее Z.

(g) В Z доказуема непротиворечивость Т, так что Z сильнее Т.

(d) NF не слабее Т в том смысле, что в NF можно развить всю теорию типов.

Аксиоматич. подход к теории множеств позволил придать точный смысл утверждению о принципиальной неразрешимости нек-рых математич. проблем и строго доказать его. Общая применения аксиоматич. метода здесь такова. Рассматривается формальная аксиоматич. система S теории множеств (как правило, это ZF или нек-рые ее модификации), настолько универсальная, чтобы она содержала все обычные способы рассуждения классич. математики и все обычные математич. факты могли бы в ней быть выведены. Данная проблема Аможет быть записана в виде формулы в языке S. Затем математич. методами устанавливается, что в Sневозможно вывести ни А, ни отрицание А. Отсюда следует, что проблема Ане может быть разрешена (в ту или иную сторону) средствами теории S, но так как теория Sопределялась в расчете охватить все обычные методы рассуждения, то полученный результат свидетельствует о том, что Ане может быть разрешена обычными методами рассуждения, т. е. свидетельствует о "трансцендентности" А.

Результаты о невыводимости в теории Sдоказываются, как правило, в предположении о непротиворечивости S или нек-рого естественного расширения S. Это связано с тем, что, с одной стороны, проблема может быть невыводима в Sтолько при непротиворечивости S, последнее же не может быть установлено средствами S (согласно Гёделя теореме о неполноте ), т. е. не может быть доказано обычными методами. С другой стороны, непротиворечивость Sявляется обычно весьма правдоподобной гипотезой. Сама теория Sопределяется в расчете на выполнение этой гипотезы.

Далее, аксиоматич. подход к теории множеств позволил точно поставить и решить проблемы, связанные с эффективностью в теории множеств, интенсивно обсуждавшиеся особенно в первый развития теории множеств в работах Р. Бэра (R. Baire), Э. Бореля (Е. Borel), А. Лебега (Н. Lebesgue), С. Н. Бернштейна, Н. Н. Лузина, В. Серпинского А именно, говорят, что теоретико-множественный , удовлетворяющий свойству задается эффективно в аксиоматич. теории S, если может быть построена формула (х).теории S, про к-рую в Sможно доказать, что ей удовлетворяет единственный объект, и этот объект удовлетворяет свойству Это определение дает возможность точно доказать, что для нек-рых свойств в теории Sневозможно эффективно указать объект, удовлетворяющий свойству в то время как существование этих объектов в S может быть установлено. Но поскольку теория Sвыбирается достаточно универсальной, то неэффективность существования нек-рых объектов в Sсвидетельствует и о невозможности эффективно установить их существование обычными математич. средствами.

Наконец, методы А. т. м. позволили решить трудных проблем и в классич. ветвях математики: теории кардинальных и ординальных чисел, дескриптивной теории множеств, топологии.

Ниже приведены нек-рые из результатов в А. т. м. Большинство теорем относится к А. т. м. Цермело - Френкеля, наиболее употребительной в настоящее время. Пусть ZF - есть система ZF без аксиомы выбора Z7. В силу результаты легко адаптируются и к системе NBG.

1) К. Гёдель (1939) показал, что если непротиворечива, то она остается непротиворечивой и после добавления аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Отсюда следует, что в ZF невозможно опровергнуть аксиому выбора или континуум-гипотезу. Для доказательства этого результата Гёдель построил теории ZF, состоящую из так наз. конструктивных по Гёделю множеств и играющую важную роль в современной А. т. м.

2) Вопрос о том, можно ли вывести в ZF аксиому выбора или континуум-гипотезу, оставался открытым вплоть до 1963, когда П. Коэн (P. Cohen) с помощью разработанного им вынуждения метода показал, что если ZF- непротиворечива, то она остается таковой и после присоединения любой комбинации из аксиомы выбора, континуум-гипотезы или их отрицаний. Таким образом, эти две проблемы независимы в ZF.

Основным методом установления невыводимости формулы Ав ZF является построение модели ZF, в к-рой имеет место отрицание А. Метод вынуждения Коэна, усовершенствованный затем другими авторами, сильно расширил возможности построения моделей теории множеств и в настоящее время лежит в основе почти всех дальнейших результатов о невыводимости. Напр.:

3) Показано, что к ZF без противоречия можно присоединить гипотезу о том, что множества подмножеств множества хможет быть почти произвольной наперед заданной функцией мощности хна регулярных кардиналах (единственные существенные ограничения связаны с теоремой Кёнига).

4) В 1920 М. Я. Суслин сформулировал гипотезу: всякое линейно полно такое, что всякое попарно непересекающееся семейство непустых открытых интервалов в нем не более чем счетно, необходимо содержит счетное всюду плотное подмножество. Методом Коэна была установлена в ZF гипотезы Суслина.

5) Показана неразрешимость в (без аксиомы выбора) утверждения: всякое подмножество множества действительных чисел измеримо по Лебегу.

6) Выяснено взаимоотношение с ZF многих важных проблем дескриптивной теории множеств. Первые результаты в этом направлении были объявлены Гёделем в 30-х гг. и доказаны П. С. Новиковым . Методы А. т. м. позволили обнаружить неизвестные ранее связи между проблемами "наивной" теории множеств. Доказано, напр., что из существования неизмеримого по Лебегу множества действительных чисел типа вытекает существование несчетного (т. е. СА ).множества без совершенного подмножества.

7) Доказано отсутствие в ZF эффективного вполне упорядочения континуума. Получены многочисленные результаты об отсутствии эффективно определенных объектов в дескриптивной теории множеств и теории ординалов.

Лит. : Френкель А.

В. Н. Гришин, А. Г. Драгалин.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .