Двойная арифметика. Формальные правила двоичной арифметики. Правила двоичной арифметики
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для сложения двоичных чисел в прямом, обратном и дополнительном кодах.Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Перевод чисел в двоичную, шестнадцатеричную, десятичную, восьмеричную системы счисления
Умножение двоичных чисел
Формат представления чисел с плавающей запятой
Пример №1
. Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение
. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp 10 2
Число 1.3354*exp 10 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp 10 =2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M Представление числа в денормализованном экспоненциальном виде
.
Если мантисса находится в диапазоне 0,1 ≤ M Представим число в денормализованном экспоненциальном виде: 0.13354*exp 10 3
Пример №2
. Представить двоичное число 101.10 2 в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Таблица истинности
Вычисление пределов
Арифметика в двоичной системе счисления
Арифметические действия в двоичной системе выполняются так же, как и в десятичной. Но, если в десятичной системе счисления перенос и заём осуществляется по десять единиц, то в двоичной - по две единицы. В таблице представлены правила сложения и вычитания в двоичной системе счисления.- При сложении в двоичной системе системе счисления двух единиц в данном разряде будет 0 и появится перенос единицы в старший разряд.
- При вычитании из нуля единицы производится заём единицы из старшего разряда, где есть 1 . Единица, занятая в этом разряде, даёт две единицы в разряде, где вычисляется действие, а также по единице, во всех промежуточных разрядах.
Сложение чисел с учетом их знаков на машине представляет собой последовательность следующих действий:
- преобразование исходных чисел в указанный код;
- поразрядное сложение кодов;
- анализ полученного результата.
При выполнении операции в дополнительном (модифицированном дополнительном) коде если в результате сложения в знаковом разряде возникает единица переноса, она отбрасывается.
Операция вычитания в ЭВМ выполняется через сложение по правилу: Х-У=Х+(-У). Дальнейшие действия выполняются также как и для операции сложения.
Пример №1
.
Дано: х=0,110001; y= -0,001001, сложить в обратном модифицированном коде.
Дано: х=0,101001; y= -0,001101, сложить в дополнительном модифицированном коде.
Пример №2
. Решить примеры на вычитание двоичных чисел, используя метод дополнения до 1 и циклического переноса.
а) 11 - 10.
Решение
.
Представим числа 11 2 и -10 2 в обратном коде.
Двоичное число 0000011 имеет обратный код 0,0000011
Сложим числа 00000011 и 11111101
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000001. Переведем в десятичное представление . Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000001 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 1
Результат сложения (в десятичном представлении): 1
б) 111-010
Представим числа 111 2 и -010 2 в обратном коде.
Обратный код для положительного числа совпадает с прямым кодом. Для отрицательного числа все цифры числа заменяются на противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится единица.
Двоичное число 0000111 имеет обратный код 0,0000111
Двоичное число 0000010 имеет обратный код 1,1111101
Сложим числа 00000111 и 11111101
В 0-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 1-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | |||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 |
В 1-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 2-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | ||||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 |
В 2-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 + 1 = 11). Поэтому записываем 1, а 1 переносим на 3-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
В 3-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 4-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | ||||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
В 4-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 5-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 5-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 6-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 6-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 7-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В 7-ом разряде возникло переполнение (1 + 1 = 10). Поэтому записываем 0, а 1 переносим на 8-й разряд.
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Возник перенос из знакового разряда. Добавим его (т.е. 1) к полученному числу (тем самым осуществляя процедуру циклического переноса).
В итоге получаем:
| 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Результат сложения: 00000101
Получили число 00000101. Для перевода целой части необходимо умножить разряд числа на соответствующую ему степень разряда.
00000101 = 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *1 + 2 1 *0 + 2 0 *1 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 5
Результат сложения (в десятичном представлении): 5
Сложение двоичных вещественных чисел с плавающей запятой
В компьютере любое число может быть представлено в формате с плавающей точкой. Формат с плавающей точкой показан на рисунке:
Например, число 10101 в формате с плавающей точкой можно записать так:
В компьютерах используется нормализованная форма записи числа, в которой положение запятой всегда задается перед значащей цифрой мантиссы, т.е. выполняется условие:
b -1 ≤|M|Нормализованное число - это число, у которого после запятой идет значащая цифра (т.е. 1 в двоичной системе счисления). Пример нормализации:
0,00101*2 100 =0,101*2 10
111,1001*2 10 =0,111001*2 101
0,01101*2 -11 =0,1101*2 -100
11,1011*2 -101 =0,11011*2 -11
При сложении чисел с плавающей точкой выравнивание порядков выполняют в сторону большего порядка:
Алгоритм сложения чисел с плавающей точкой:
- Выравнивание порядков;
- Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
- Нормализация результата.
Пример №4
.
A=0,1011*2 10 , B=0,0001*2 11
1. Выравнивание порядков;
A=0,01011*2 11 , B=0,0001*2 11
2. Сложение мантисс в дополнительном модифицированном коде;
MA доп.мод. =00,01011
MB доп.мод. =00,0001
00,01011
+ 00,00010
=
00,01101
A+B=0,01101*2 11
3. Нормализация результата.
A+B=0,1101*2 10
Пример №3 . Записать десятичное число в двоично-десятичной системе счисления и сложить два числа в двоичной системе счисления.
Цель :
учащиеся познакомятся с двоичной системой счисления, укажут ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
разовьют логическое мышление; сформируют навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
воспитают в себе умение самостоятельно добывать новые знания.
Ресурсы: проектор, интерактивная доска, компьютер, презентация слайдов, учебник, рабочая тетрадь, смайлики , листы обратной связи
Способы работы: Индивидуальная, парная, групповая
Критерии оценки:
Ответы на вопросы 1-3 балла
Запись конспекта 1-2 балла
Выполнение заданий - 1-4 балла
Активность работы в группе – 1 балл
Мониторинг оценивания:
1-3 балла – «3»
4-6 баллов – «4»
7-10 баллов – «5»
Этапы урока
Время
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Оценивание
Ожидаемый результат
Побуждение
Приветствие
Проверка явки учащихся
Позитивный настрой
Деление на группы: «Фрукты»
Организация работы по определению темы и цели урока
Организация деятельности по созданию критериев оценки работы
Проверка кластеров «Количество информации»
Проверка домашнего задания:
Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления и шестнадцатеричную.
а) 10111110001
б) 1001101011001
в) 100100101011
Приветствие
Позитивно настраиваются на урок
Делятся на группы
Определяют тему и цели урока
Создают критериии оценки работы
Показывают выполнение домашнего задания
Смайлики
Позитивно настроятся на урок
Осуществлят деление на группы
Определят тему и цели урока
Создадут критериии оценки работы
Выполнят домашнее задание
Осмысление
Организация чтения текста
Читают текст
С пометками - смайлики
Внимательно прочитают текст
Рефлексия
Организует работу с конспектом
Контрольные вопросы:
1.Из чего складывается двоичная система счисления?
2.Какие ученые изучали двоичную систему счисления?
3.По каким правилам осуществляется выполнение арифметических действий над двоичными числами?
4.Расскажите таблицу сложения, вычитания двоичных чисел.
5.Как выполняются операции умножения, деления двоичных чисел.
Решите задачи:
Выполните сложение:
1001001 + 10101 (ответ
1011110);
101101 + 1101101 (ответ
10011010)
11000,11 + 11010,11 (ответ
110011,1)
Выполните вычитание:
10001000 – 1110011 (ответ
10101)
1101100 – 10110110
(ответ
– 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)
Выполните умножение:
100001*111,11
(ответ
: 11111111,11)
10011*1111,01
(ответ : 100100001,11)
Выполните деление:
1000000 / 1110 (ответ
:100)
11101001000/111100
(ответ : 11111)
Запись конспекта
Отвечают на вопросы, выполняют задания
Смайлики
Запишут конспект
Ответят на вопросы, выполнят задания
Будут внимательно слушать друг друга, критически оценят друг друга
Обратная связь
Организует обратную связь:
1.Что понравилось на уроке?
2. Что не понравилось на уроке?
3. Какие возникли вопросы по уроку?
Заполнят листы обратной связи
Учащиеся смогут выразить свои мысли на бумаге
Домашнее задание
Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.
Выполните действия:
1) 110010 + 111,01;
2) 11110000111 – 110110001;
3) 10101,101 * 111;
4) 10101110/101.
Запишут в дневник домашнее задание
Получат домашнее задание
Оценивание
Согласно критериям выставляет учащимся суммативную оценку
Подадут дневники на оценку
В дневник выставятся объективные оценки
Двоичная система счисления
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.
– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)
– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А 2 =а n-1 *2 n-1 + …a 0*2 0 + a -1 *2 -1 +…a -m *2 -m , где а i равно 1 или 0.)
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.
Двоичная арифметика.
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Сложение.
Таблица сложения двоичных чисел проста.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Пример.
Вычитание.
0 – 0 = 0
0 – 1 = 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.
Пример.
Умножение.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Пример.
Деление.
При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.
Пример.
Перед тем, как рассмотреть формальные правила двоичной арифметики подчеркнем общий принцип сложения и вычитания чисел представленных в любой позиционной системы счисления.
В общем случае процедуры сложения и вычитания двух чисел
A B = C в любой позиционной системы счисления начинаются с младших разрядов.
Код суммы каждго i -того разряда с i получается в результате сложения
a i + b i +1, где единица соответствует переносу из младшего (i - 1)-разряда в i -тый, если в младшем разряде код суммы получился больше или равным основанию системы счисления.
Код разности каждого i -того разряда получается в результате вычитания
a i - b i -1, где единица соответствует заему, если он был, в младшие разряды величины, равной основанию системы счисления.
Следовательно, правила и методы сложения и вычитания в любой позиционной системы счисления в принципе остаются такими же, как в десятичной системе.
Теперь рассмотрим правила арифметики с числами, представленными в двоичном коде.
Сложение двух чисел выполняется поразрядно, начиная с младшего разряда. В каждом разряде выполняется сложение двух цифр слагаемых и единицы переноса из соседнего младшего разряда:
1 + 1 = 0 и осуществляется перенос 1 в старший соседний разряд.
Например:
Вычитание также производится поразрядно, начиная с младшего разряда. При вычитании в данном разряде из нуля единицы необходимо занять единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда:
0 - 1 =1 после заема единицы из соседнего старшего разряда.
Например:
Суммирование двоичных чисел в компьютерах осуществляется при помощи двоичных сумматоров, а вычитание - двоичных вычитателей. Но как будет показано в дальнейшем, вычитание можно организовать также при помощи процедуры сложения, т.е. при помощи двоичных сумматоров, если вычитаемое представить в "дополнительном" или "обратном" коде и тем самым исключить необходимость в двоичных вычитателях.
Умножение двоичных чисел производится путем образования про-межуточных произведений и последующего их суммирования. Промежуточные поразрядные произведения формируются по следующим правилам:
0 x 0 = 0 101 510 x 310 = 1510
0 x 1 = 0 11
1 x 1 = 1 + 101
Деление чисел в двоичной системе производится по правилам умножения и вычитания.
Например:
110: 11 = 10 610: 310 = 210
Арифметические действия с двоичными числами подробно будут рассмотрены в дальнейшем.
При выполнении любых арифметических действий важное значение имеют такие электронные устройства, как двоичный полусумматор и двоичный сумматор, которые выполняют побитное двоичное сложение по ранее приведенным правилам. Для двоичного вычитания иногда используют и двоичный вычитатель. Приведем условное обозначение двоичных полусумматора и сумматора:
ai HS S ci ai SM S ci
bi P Pi Pi-1 P Pi
Рис.2.1 Условное обозначение полусумматора (а)
и двоичного сумматора (б).
Здесь a i и b i это i -тые разряды чисел А и В, которые складываются, а c i - i -тый разряд суммы этих чисел, Pi - перенос из данного разряда в соседний следующий старший, Pi-1 - перенос из соседнего младшего в данный разряд.
Если для представления двоичных чисел А, В, С и их знаков выделена
n -разрядная сетка, то очевидно, что для организации процедуры сложения необходимо n двоичных сумматоров, которые соединяются между собой по определенной схеме, зависящей от того в каком коде представляются эти двоичные числа: прямой, обратный или дополнительный.
Очевидно, что в арифметических устройствах цифровых автоматов помимо двоичных сумматоров используются также регистры, счетчики, различные триггера и электронные устройства, выполняющие различные логические процедуры. Обычно используемые регистры должны позволять не только параллельно записывать в них двоичные коды чисел, но и сдвигать изображения этих чисел влево и вправо на необходимое число двоичных разрядов.
Простейшую блок-схему узла, выполняющего процедуру сложения
A+B=C можно представить следующим образом:
где Рr - некоторые регистры, в которые записываются двоичные числа А, В и С; СM - сумматор, точнее группа сумматоров n SM, где n - длина разрядной сетки, отведенной для представления чисел А, В и С.
Помимо арифметических операций в цифровых автоматах реализуются также логические операции, которые подробно рассматриваются в последующих главах.
Кроме этих операций в цифровых автоматах, компьютерах, выполняется еще одна операция над двоичными числами - это сдвиг числа по разрядной сетке влево или вправо. В случае сдвига влево фактически осуществляется умножение двоичного числа на 2, а при сдвиге вправо - деление на 2, где - количество разрядов, на которое сдвигается двоичное число. Например: 0000112= 310 сдвинем влево на 2 разряда, получим 0011002 = 1210, т.е.
3х4(22) = 1210, а теперь 0010002 = 810 сдвинем на 2 разряда вправо, получим 0000102 = 210, т.е. 8:4(22) = 210.
В компьютерах часто используется циклический сдвиг, при выполнении которого разрядная сетка, отведенная для операнда, представляется замкнутой в кольцо. Тогда при сдвиге влево содержимое старшего разряда попадает в младший разряд операнда, а при сдвиге вправо - наоборот.
- познакомить учащихся с двоичной системой счисления, указать ее недостатки и преимущества использования в вычислительной технике;
- развивать логическое мышление; формировать навыки выполнения арифметических действий с двоичными числами;
- прививать интерес к предмету.
Программно-дидактическое обеспечение: ПК, программа Калькулятор.
Ход урока
I. Организационный момент
Приветствие, проверка отсутствующих.
1. Постановка целей урока
– Сколько будет:
1000110 2 + 1010101 2 ;
100011110111 2 /101101 2;1110001110 2 – 11010 2 ;
101101 2 * 100011 2
После предложенных ответов учащихся, комментирую и объясняю, что сегодня на уроке мы научимся правильно выполнять арифметические действия в двоичной системе счисления.
2. Человек не ведет счет в двоичной системе, т.к. она для него не удобна. А кто или что использует ее для счета и почему?
II. Изложение нового материала
Двоичная система счисления
Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления.
– Чему равно основание двоичной системы счисления? (q = 2)
– Какой вид имеет развёрнутая форма записи двоичного числа? (А 2 =а n-1 *2 n-1 + …a 0*2 0 + a -1 *2 -1 +…a -m *2 -m , где а i равно 1 или 0.)
Двоичная система счисления издавна была предметом пристального внимания многих учёных. П.С.Лаплас писал о своём отношении к двоичной (бинарной) системе счисления великого математика Г.Ф.Лейбница: «В своей бинарной арифметике Лейбниц видел прообраз творения. Ему представлялось, что единица представляет божественное начало, а нуль – небытие и что высшее существо создает всё из небытия точно таким же образом, как единица и нуль в его системе выражают все числа ». Эти слова подчеркивают удивительную универсальность алфавита состоящего всего из двух символов.
Двоичная арифметика.
Для того чтобы лучше освоить двоичную систему счисления, необходимо освоить выполнение арифметических действий над двоичными числами.
Все позиционные системы «одинаковы», а именно, во всех них арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:
- справедливы одни и те же законы арифметики: коммуникативный, ассоциативный, дистрибутивный;
- справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком;
- правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.
Сложение.
Таблица сложения двоичных чисел проста.
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
1 + 1 + 1 = 11
При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда величина числа в нем становится равной или большей основания.
Вычитание.
0 – 0 = 0
0 – 1 = 11
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведённой таблицей вычитания с учетом возможных заёмов из старших разрядов.
Умножение.
Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме (применяемой в десятичной системе счисления) с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
При делении столбиком приходится в качестве промежуточных результатов выполнять действия умножения и вычитания.
III. Закрепление изученного
Решите задачи.
Выполните сложение:
1001001 + 10101 (ответ 1011110);
101101 + 1101101 (ответ 10011010)
11000,11 + 11010,11 (ответ 110011,1)
Выполните вычитание:
10001000 – 1110011 (ответ 10101)
1101100 – 10110110 (ответ – 1001010)
110101,101 – 1001,111 (101011,11)
Выполните умножение:
100001*111,11 (ответ : 11111111,11)
10011*1111,01 (ответ : 100100001,11)
Выполните деление:
1000000 / 1110 (ответ :100)
11101001000/111100 (ответ : 11111)
IV. Итоги урока
Оценивание работу учащихся, назвать отличившихся на уроке.
V. Домашнее задание
Выучить правила выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления, а так же таблицы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе счисления.
Выполните действия:
- 110010 + 111,01;
- 11110000111 – 110110001;
- 10101,101 * 111;
- 10101110/101.
Составьте таблицы сложения и умножения в троичной и пятеричной системе счисления.
