Нейронная сеть и размытая логика. Современные проблемы науки и образования. Элементы нечеткой логики

fuzzy logics systems) могут оперировать с неточной качественной информацией и объяснять принятые решения, но не способны автоматически усваивать правила их вывода. Вследствие этого, весьма желательна их кооперация с другими системами обработки информации для преодоления этого недостатка. Подобные системы сейчас активно используются в различных областях, таких как контроль технологических процессов, конструирование, финансовые операции, оценка кредитоспособности, медицинская диагностика и др. Нейронные сети используются здесь для настройки функций принадлежности нечетких систем принятия решений. Такая их способность особенно важна при решении экономических и финансовых задач, поскольку вследствие их динамической природы функции принадлежности неизбежно должны адаптироваться к изменяющимся условиям.

Хотя нечеткая логика может явно использоваться для представления знаний эксперта с помощью правил для лингвистических переменных , обычно требуется очень много времени для конструирования и настройки функций принадлежности, которые количественно определяют эти переменные. Нейросетевые методы обучения автоматизируют этот процесс и существенно сокращают время разработки и затраты на нее, улучшая при этом параметры системы. Системы, использующие нейронные сети для определения параметров нечетких моделей, называются нейронными нечеткими системами. Важнейшим свойством этих систем является их интерпретируемость в терминах нечетких правил if-then.

Подобные системы именуются также кооперативными нейронными нечеткими системами и противопоставляются конкурентным нейронным нечетким системам, в которых нейронные сети и нечеткие системы работают вместе над решением одной и той же задачи, не взаимодействуя друг с другом. При этом нейронная сеть обычно используется для предобработки входов или же для постобработки выходов нечеткой системы.

Кроме них имеются также нечеткие нейронные системы. Так называются нейронные сети, использующие методы нечеткости для ускорения обучения и улучшения своих характеристик. Это может достигаться, например, использованием нечетких правил для изменения темпа обучения или же рассмотрением нейронных сетей с нечеткими значениями входов.

Существует два основных подхода к управлению темпом обучения персептрона методом обратного распространения ошибки . При первом этот темп одновременно и равномерно уменьшается для всех нейронов сети в зависимости от одного глобального критерия - достигнутой среднеквадратичной погрешности на выходном слое. При этом сеть быстро учится на начальном этапе обучения и избегает осцилляций ошибки на позднем. Во втором случае оцениваются изменения отдельных межнейронных связей. Если на двух последующих шагах обучения инкременты связей имеют противоположный знак, то разумно уменьшить соответствующий локальный темп - впротивном случае его следует увеличить. Использование нечетких правил может обеспечить более аккуратное управление локальными темпами модификации связей. В чаcтности это может быть достигнуто, если в качестве входных параметров этих правил использовать последовательные значения градиентов ошибки. Таблица соответствующих правил может иметь, например следующий вид:

Таблица 11.4. Нечеткое правило адаптации темпа обучения нейронной сети

Предыдущий градиент	Текущий градиент
	NB	NS	Z	PS	PB
NB	PB	PS	Z	NS	NB
NS	NS	PS	Z	NS	NB
Z	NB	NS	Z	NS	NB
PS	NB	NS	Z	PS	NS
PB	NB	NS	Z	PS	PB

Лингвистические переменные Темп Обучения и Градиент принимают в иллюстрируемом таблицей нечетком правиле адаптации следующие значения: NB - большой отрицательный; NS - малый отрицательный; Z - близок к нулю; PS - малый положительный; PB - большой положительный.

Наконец, в современных гибридных нейронных нечетких системах нейронные сети и нечеткие модели комбинируются в единую гомогенную архитектуру. Такие системы могут интерпретироваться либо как нейронные сети с нечеткими параметрами, либо как параллельные распределенные нечеткие системы.

Элементы нечеткой логики

Центральным понятием нечеткой логики является понятие лингвистической переменной . Согласно Лотфи Заде лингвистической называется переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Примером лингвистической переменной является, например, падение производства, если она принимает не числовые, а лингвистические значения, такие как, например, незначительное, заметное, существенное, и катастрофическое. Очевидно, что лингвистические значения нечетко характеризуют имеющуюся ситуацию. Например, падение производства на 3% можно рассматривать и как в какой-то мере незначительное, и как в какой-то мере заметное. Интуитивно ясно, что мера того, что данное падение является катастрофическим должна быть весьма мала.

Название: Нечеткая логика и искусственные нейронные сети.

Как известно, аппарат нечетких множеств и нечеткой логики уже давно (более 10 лет) с успехом применяется для решения задач, в которых исходные данные являются ненадежными и слабо формализованными. Сильные стороны такого подхода:
-описание условий и метода решения задачи на языке, близком к естественному;
-универсальность: согласно знаменитой теореме FAT (Fuzzy Approximation Theorem), доказанной Б.Коско (B.Kosko) в 1993 г., любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике;

Вместе с тем для нечетких экспертных и управляющих систем характерны и определенные недостатки:
1) исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым;
2) вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут оказаться не вполне отражающими реальную действительность.
Для устранения, по крайней мере, частично, указанных недостатков рядом авторов было предложено выполнять нечеткие экспертные и управляющие системы адаптивными - корректируя, по мере работы системы, и правила и параметры функций принадлежности. Среди нескольких вариантов такой адаптации одним из самых удачных, по-видимому, является метод так называемых гибридных нейронных сетей.
Гибридная нейронная сеть формально по структуре идентична многослойной нейронной сети с обучением, например, по алгоритму обратного распространения ошибки, но скрытые слои в ней соответствуют этапам функционирования нечеткой системы. Так:
-1-й слой нейронов выполняет функцию введения нечеткости на основе заданных функций принадлежности входов;
-2-й слой отображает совокупность нечетких правил;
-3-й слой выполняет функцию приведения к четкости.
Каждый из этих слоев характеризуется набором параметров (параметрами функций принадлежности, нечетких решающих правил, акти-
вационных функций, весами связей), настройка которых производится, в сущности, так же, как для обычных нейронных сетей.
В книге рассмотрены теоретические аспекты составляющих подобных сетей, именно, аппарат нечеткой логики, основы теории искусственных нейронных сетей и собственно гибридных сетей применительно к Задачам управления и принятия решений в условиях неопределенности.
Особое внимание уделено программной реализации моделей указанных подходов инструментальными средствами математической системы MATLAB 5.2/5.3.

Предыдущие статьи:

Нейронечеткие или гибридные системы, включающие в себя нечеткую логику, нейронные сети, генетические алгоритмы и экспертные системы, являются эффективным средством при решении большого круга задач реального, мира.

Каждый интеллектуальный метод обладает своими индивидуальными особенностями (например, возможностью к обучению, способностью объяснения решений), которые делают его пригодным только для решения конкретных специфических задач.

Например, нейронные сети успешно применяются в распознавании моделей, они неэффективны в объяснении способов достижения своих решений.

Системы нечеткой логики, которые связаны с неточной информацией, ус­тно применяются при объяснении своих решений, но не могут автоматически пополнять систему правил, которые необходимы для принятия этих решений.

Эти ограничения послужили толчком для создания интеллектуальных гибридных систем, где два или более методов объединяются для того, чтобы преодолеть ограничения каждого метода в отдельности.

Гибридные системы играют важную роль при решении задач в различных приикладных областях. Во многих сложных областях существуют проблемы, связанные с отдельными компонентами, каждый из которых может требовать своих методов обработки.

Пусть в сложной прикладной области имеется две отдельные подзадачи, например задача обработки сигнала и задача вывода решения, тогда нейронная сеть и экспертная система будут использованы соответственно для ре этих отдельных задач.

Интеллектуальные гибридные системы успешно применяются во многих областях, таких как управление, техническое проектирование, торговля, о кредита, медицинская диагностика и когнитивное моделирование. Кроме того, диапазон приложения данных систем непрерывно растет.

В то время, как нечеткая логика обеспечивает механизм логического вывода из когнитивной неопределенности, вычислительные нейронные сети обладают такими заметными преимуществами, как обучение, адаптация, отказоустойчивость, параллелизм и обобщение.

Для того чтобы система могла обрабатывать когнитивные неопределенности так, как это делают люди, нужно применить концепцию нечеткой логики в нейронных сетях. Такие гибридные системы называются нечеткими нейронными или нечетко-нейронными сетями.

Нейронные сети используются для настройки функций принадлежи нечетких системах, которые применяются в качестве систем принятия решений.

Нечеткая логика может описывать научные знания напрямую, используя правила лингвистических меток, однако много времени обычно занимает процесс проектирования и настройки функций принадлежности, которые определяют эти метки.

Обучающие методы нейронных сетей автоматизируют этот процесс, существенно сокращая время разработки и затраты на получение данных функций.

Теоретически нейронные сети и системы нечеткой логики равноценны, поскольку они взаимно трансформируемы, тем не менее на практике каждая из них имеет свои преимущества и недостатки.

В нейронных сетях знания автоматически приобретаются за счет применения алгоритма вывода с обратным ходом, но процесс обучения выполняется относительно медленно, а анализ обученной сети сложен ("черный ящик").

Невозможно извлечь структурированные знания (правила) из обученной нейронной сети, а также собрать особую информацию о проблеме для того, чтобы упростить процедуру обучения.

Нечеткие системы находят большое применение, поскольку их поведение может быть описано с помощью правил нечеткой логики, таким образом, можно управлять, регулируя эти правила. Следует отметить, что приобретение знаний - процесс достаточно сложный, при этом область измене каждого входного параметра необходимо разбивать на несколько интервалов; применение систем нечеткой логики ограничено областями, в которых допустимы знания эксперта и набор входных параметров достаточно мал.

Для решения проблемы приобретения знаний нейронные сети дополняются свойством автоматического получения правил нечеткой логики из числовых данных.

Вычислительный процесс представляет собой использование следующих нечетких нейронных сетей. Процесс начинается с разработки "нечеткого нейро­на", который основан на распознавании биологических нейронных морфоло­гии согласно механизму обучения. При этом можно выделить следующие три этапа вычислительного процесса нечеткой нейронной сети:

разработка нечетких нейронных моделей на основе биологических ней­ронов;

модели синоптических соединений, которые вносят неопределенность в нейронные сети;

разработка алгоритмов обучения (метод регулирования синоптических весовых коэффициентов).

На рис. П1.1 и П1.2 представлены две возможные модели нечетких нейрон­ных систем.

Полученное лингвистическое утверждение интерфейсный блок нечеткой ло­гики преобразует во входной вектор многоуровневой нейронной сети. Ней­ронная сеть может быть обучена вырабатывать необходимые выходные команды или решения

Многоуровневая нейронная сеть запускает интерфейсный механизм нечеткой логики.

Основные обрабатываемые элементы нейронной сети называют искусственными нейронами, или просто нейронами. Сигнал с нейронных входов xj считается однонаправленным, направление обозначено стрелкой, то же касается нейронного выходного сигнала

Рис. П1.2. Вторая модель нечеткой нейронной системы

Простая нейронная сеть представлена на рис. П1.3. Все сигналы и веса задаются вещественными числами.

Рис. П1.3. Простая нейронная сеть

Входные нейроны не изменяют входной сигнал, поэтому выходные и входные параметры совпадают.

При взаимодействии с весовым коэффициентом w t для сигнала х, получаем результат p = wi xi, i = 1, …, n. Элементы входной информации pi складываются и в результате дают входное значение для нейрона:

Нейрон применяет свою передаточную функцию, которая может быть сигмоидальной функцией вида:

Для вычисления выходного значения:

Эту простую нейронную сеть, которая производит умножение, сложение и вычисляет сигмоидальную функцию, назовем стандартной нейронной сетью.

Гибридная нейронная сеть - это нейронная сеть с нечеткими сигналами и весами, и нечеткими передаточными функциями. Однако: (1) можно объединить Xj и w h используя другие непрерывные операции; (2) сложить компонен­ты р1 с помощью других непрерывных функций; (3) передаточная функция может иметь вид любой другой непрерывной функции.

Обрабатывающий элемент гибридной нейронной сети называется нечетким нейроном.

Следует отметить на то, что все входные, выходные параметры и веса гиб­ридной нейронной сети представляют собой вещественные числа из интерва­ла .

Рис. П.4. Передаточная функция гибридной нейронной сети

П1.2. Нечеткие нейроны

Определение 1 - нечеткий нейрон И. Сигналы х, и w, объединяются опе­ратором максимума и дают:

Элементы входной информации р, объединяются с помощью оператора ми­нимума и в результате дают выходную информацию нейрона:

Определение 2 - нечеткий нейрон ИЛИ . Сигнал х, и вес w , объединяются оператором минимума:

Элементы входной информации р, объединяются с помощью оператора максимума и в результате дают выходную информацию нейрона:

Определение 3 - нечеткий нейрон ИЛИ (максимум Произведения)

Сигнал х, и вес w, объединяются оператором умножения:

Элементы входной информации р, объединяются с помощью оператора максимума и в результате дают выходную информацию нейрона:

Рис. П1.5. Передаточная функция нечеткого нейрона ИЛИ

Нечеткие нейроны И и ИЛИ осуществляют стандартные логические операции над значениями множества. Роль соединений заключается в том, чтобы различить конкретные уровни воздействия, которое может быть оказано отдельными входными параметрами на результат их объединения.

Известно, что стандартные сети являются универсальными аппроксиматорами, т. е. они могут аппроксимировать любую непрерывную функцию на компактном множестве с любой точностью. Задача с таким результатом является; неконструктивной и не дает информации о том, как построить данную сеть.

Гибридные нейронные сети применяются для реализации правил нечеткой логики IF-THEN конструктивным путем.

Хотя гибридные нейронные сети не способны использовать напрямую стан­дартный алгоритм вывода с обратным ходом, они могут быть обучены мето­дами наискорейшего спуска распознавать параметры функций принадлежно­сти, представляющих собой лингвистические термины в правилах

Размещено на http :// www . сайт . ru /

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Факультет Прикладной математики, информатики и механики

Курсовая работа

38.03.05 Бизнес-информатика

по курсу «Нечеткая логика и нейронные сети»

Воронеж 2016

Глава 1. Решение задач прогнозирования цен на акции «Мазут»

Глава 2. Построение системы «Набор программистов» нечёткого логического вывода

Первая часть курсовой работы заключается в построении прогноза цен на акции «Мазут» на 5 дней вперед.

На рисунке 1 представлены данные, которые необходимо использовать для прогноза: LOW и CLOSE.

Дальше нужно запустить модуль «Neural networks. Во вкладке «Quick» выбираем тип задачи: «Time Series» После этого выбираем входные и выходные данные во вкладке «Variables». В курсовой работе будем строить прогноз для одной переменной «LOW», она будет и входной, и выходной переменной.(Рисунок 2).

Затем выбираем модуль «Intelligent Problem Solver», нажимаем «Ok» и в открывшемся окне задаем необходимые для прогнозирования параметры.

Во вкладке «Quick» задаем количество обучаемых сетей («Network tested»), в данном примере обучаться будут 500 сетей. В параметре «Network retained» ставим 10 сетей. Здесь программа выберет 10 наилучших сетей. (рисунок 3).

прогнозирование цена нечеткий логика

Выбираем следующую вкладку «Time series» (рисунок 4). Здесь задаем количество входов для прогнозирования.

Во вкладке «Feedback» выбираем следующее: «Improved networks (real time)» и ставим галочки в двух последних параметрах. Это указано на рисунке 5.

Во вкладке «Types» выбираем тип необходимой нам сети. Мы строим сети, используя многослойные персептроны (рисунок 6). Нужные нам параметры: «Three layer perceptron» и «Four layer perceptron»

После выбора всех параметров, нажимаем кнопку «OK». После идентификации процесса построения сетей появляется окно, во вкладке «Quick» нажимаем кнопку «Descriptive statistic» (рисунок 7).

В открывшемся окне отображаются количественных характеристики выбранных сетей. Необходимо проанализировать полученные результаты.

Нам важно значение ошибки «S.D. Ratio»

Она наиболее пригодна для целей сравнения, так как представляет собой число между 1 и 0 и не зависит от знака.

Проанализировав данные результаты, выбираем сети под номерами:1,2,3,4,5. (Рисунок 8)

На вкладке «Plots» («Графики») строим графики выбранных 5 моделей. Отбираем наиболее удачные графики. Критерием выбора является симметричность. Из выбранных 5 сетей удовлетворяют условию графики 2 сети (рисунок 9) и 3 сети (рисунок 10).

Затем снова выбираем 2 модели и в открывшемся окне в параметре «Length of projection» ставим 5, а в параметре «Case» (здесь выбирается день, с какого начнется прогноз 310) Это означает, что прогноз будет сделан на 5 дней вперед. Нажимаем кнопку «Time series spreadsheet».(рисунок 11)

Открывается окно, где показаны цены на акции с 310 по 314 день, смоделированные нашими сетями. Добавляем новый столбец NewVar, куда копируем цены из нашей исходной таблицы (рисунок 12).

Затем строим графики, чтобы посмотреть на прогноз, смоделированный нейронными сетями (рисунок 14). Видим, что график, построенный одной из нейронных сетей расположен довольно близко к исходному и приблизительно повторяет его изменения.

Система «Набор программистов»

1.Входные данные

· Знания английского языка

· Владение компьютером

Множество определения -

Множество термов - {низкое, среднее, высокое}

· Стаж работы

Множество определения -

Множество термов - {мало, достаточно, много}

Множество определения -

Множество термов - {низкий, средний, высокий, очень высокий}

Подобные документы

Понятие и свойства лингвистической переменной, ее разновидности. Основы теории приближенных рассуждений. Нечеткие системы логического вывода с одной и несколькими входными переменными. Принципы нечеткого моделирования, вычисление уровней истинности.

презентация , добавлен 29.10.2013


Рождение искусственного интеллекта. История развития нейронных сетей, эволюционного программирования, нечеткой логики. Генетические алгоритмы, их применение. Искусственный интеллект, нейронные сети, эволюционное программирование и нечеткая логика сейчас.

реферат , добавлен 22.01.2015


Модели оценки кредитоспособности физических лиц в российских банках. Нейронные сети как метод решения задачи классификации. Описание возможностей программы STATISTICA 8 Neural Networks. Общая характеристика основных этапов нейросетевого моделирования.

дипломная работа , добавлен 21.10.2013


Технологии решения задач с использованием нейронных сетей в пакетах расширения Neural Networks Toolbox и Simulink. Создание этого вида сети, анализ сценария формирования и степени достоверности результатов вычислений на тестовом массиве входных векторов.

лабораторная работа , добавлен 20.05.2013


Основные этапы систем нечеткого вывода. Правила нечетких продукций, используемые в них. Нечеткие лингвистические высказывания. Определение алгоритмов Цукамото, Ларсена, Сугено. Реализации нечеткого вывода Мамдани на примере работы уличного светофора.

курсовая работа , добавлен 14.07.2012


Методы, системы, типы и способы проводимых измерений в автоматизированных системах медицинского обеспечения безопасности на транспорте. Проектирования нечеткого алгоритма предрейсовых медицинских осмотров на основе адаптивной сети нейро-нечеткого вывода.

дипломная работа , добавлен 06.05.2011


Понятие о нейронных сетях и параллели из биологии. Базовая искусственная модель, свойства и применение сетей. Классификация, структура и принципы работы, сбор данных для сети. Использование пакета ST Neural Networks для распознавания значимых переменных.

реферат , добавлен 16.02.2015


Решение задачи аппроксимации поверхности при помощи системы нечёткого вывода. Определение входных и выходных переменных, их термы; алгоритм Сугено. Подбор функций принадлежности, построение базы правил, необходимых для связи входных и выходных переменных.

курсовая работа , добавлен 31.05.2014


Характеристика моделей обучения. Общие сведения о нейроне. Искусственные нейронные сети, персептрон. Проблема XOR и пути ее решения. Нейронные сети обратного распространения. Подготовка входных и выходных данных. Нейронные сети Хопфилда и Хэмминга.

контрольная работа , добавлен 28.01.2011


Интеллектуальная система как техническая или программная система, решающая задачи, которые считаются творческими и принадлежат конкретной предметной области. Анализ системы нечеткого логического вывода. Знакомство со средой программирования FuzzyTECH.

В основе нечеткой логики лежит теория нечетких множеств, изложенная в серии работ Л. Заде в 1965-1973 годах. Математическая теория нечетких множеств (fuzzy sets) и нечеткая логика (fuzzy logic) являются обобщениями классической теории множеств и классической формальной логики. Основной причиной появления новой теории стало наличие нечетких и приближенных рассуждений при описании человеком процессов, систем, объектов.

Л. Заде, формулируя это главное свойство нечетких множеств, базировался на трудах предшественников. В начале 1920-х годов польский математик Лукашевич трудился над принципами многозначной математической логики, в которой значениями предикатов могли быть не только «истина» или «ложь». В 1937 году еще один американский ученый М. Блэк впервые применил многозначную логику Лукашевича к спискам как множествам объектов и назвал такие множества неопределенными.

Нечеткая логика как научное направление развивалась непросто, не избежала она и обвинений в лженаучности. Даже в 1989 году, когда примеры успешного применения нечеткой логики в обороне, промышленности и бизнесе исчислялись десятками, Национальное научное общество США обсуждало вопрос об исключении материалов по нечетким множествам из институтских учебников.

Первый период развития нечетких систем (конец 60-х – начало 70-х гг.) характеризуется развитием теоретического аппарата нечетких множеств. В 1970 году Беллман совместно с Заде разработали теорию принятия решений в нечетких условиях.

В 70-80 годы (второй период) появляются первые практические результаты в области нечеткого управления сложными техническими системами (парогенератор с нечетким управлением). И. Мамдани в 1975 году спроектировал первый функционирующий на основе алгебры Заде контроллер, управляющий паровой турбиной. Одновременно стало уделяться внимание вопросам создания экспертных систем, построенных на нечеткой логике, разработке нечетких контроллеров. Нечеткие экспертные системы для поддержки принятия решений нашли широкое применение в медицине и экономике.

Наконец, в третьем периоде, который длится с конца 80-х годов и продолжается в настоящее время, появляются пакеты программ для построения нечетких экспертных систем, а области применения нечеткой логики заметно расширяются. Она применяется в автомобильной, аэрокосмической и транспортной промышленности, в области изделий бытовой техники, в сфере финансов, анализа и принятия управленческих решений и многих других. Кроме того, немалую роль в развитии нечеткой логики сыграло доказательство знаменитой теоремы FAT (Fuzzy Approximation Theorem) Б. Коско, в которой утверждалось, что любую математическую систему можно аппроксимировать системой на основе нечеткой логики.

Информационные системы, базирующиеся на нечетких множествах и нечеткой логике, называют нечеткими системами .

Достоинства нечетких систем:

· функционирование в условиях неопределенности;

· оперирование качественными и количественными данными;

· использование экспертных знаний в управлении;

· построение моделей приближенных рассуждений человека;

· устойчивость при действии на систему всевозможных возмущений.

Недостатками нечетких систем являются:

· отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;

· невозможность математического анализа нечетких систем существующими методами;

· применение нечеткого подхода по сравнению с вероятностным не приводит к повышению точности вычислений.

Теория нечетких множеств. Главное отличие теории нечетких множеств от классической теории четких множеств состоит в том, что если для четких множеств результатом вычисления характеристической функции могут быть только два значения – 0 или 1, то для нечетких множеств это количество бесконечно, но ограничено диапазоном от нуля до единицы.

Нечеткое множество. Пусть U – так называемое универсальное множество, из элементов которого образованы все остальные множества, рассматриваемые в данном классе задач, например множество всех целых чисел, множество всех гладких функций и т.д. Характеристическая функция множества – это функция , значения которой указывают, является ли элементом множества A:

В теории нечетких множеств характеристическая функция называется функцией принадлежности, а ее значение – степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству A.

Более строго: нечетким множеством A называется совокупность пар

где – функция принадлежности, то есть

Пусть, например, U ={a, b, c, d, e}, . Тогда элемент a не принадлежит множеству A, элемент b принадлежит ему в малой степени, элемент c более или менее принадлежит, элемент d принадлежит в значительной степени, e является элементом множества A.

Пример. Пусть универсум U есть множество действительных чисел. Нечеткое множество A, обозначающее множество чисел, близких к 10, можно задать следующей функцией принадлежности (рис. 21.1):

,