Как найти количество логических переменных. III. Объяснение нового материала
Логическая функция - это функция, в которой переменные принимают только два значения: логическая единица или логический ноль . Истинность или ложность сложных суждений представляет собой функцию истинности или ложности простых. Эту функцию называют булевой функцией суждений f (a, b) .
Любая логическая функция может быть задана с помощью таблицы истинности, в левой части которой записывается набор аргументов, а в правой части - соответствующие значения логической функции. При построении таблицы истинности необходимо учитывать порядок выполнения логических операций.
Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении:
1. инверсия;
2. конъюнкция;
3. дизъюнкция;
4. импликация;
5. эквивалентность.
Для изменения указанного порядка выполнения операций используются скобки.
Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности , которая определяет его истинность или ложность при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
При построении таблицы истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий.
Алгоритм построения таблиц истинности для сложных выражений:
количество строк = 2 n + строка для заголовка ,
n - количество простых высказываний.
количество столбцов = количество переменных + количество логических операций ;
o определить количество переменных (простых выражений);
o определить количество логических операций и последовательность их выполнения.
3. Заполнить столбцы результатами выполнения логических операций в обозначенной последовательности с учетом таблиц истинности основных логических операций.
Пример: Составить таблицу истинности логического выражения:
D = А & (B C) .
Решение:
1. Определить количество строк:
на входе три простых высказывания: А, В, С поэтому n=3 и количество строк = 2 3 +1 = 9.
2. Определить количество столбцов:
o простые выражения (переменные): А, В, С ;
o промежуточные результаты (логические операции):
o А - инверсия (обозначим через E );
o B C - операция дизъюнкции (обозначим через F );
o а также искомое окончательное значение арифметического выражения:
o D = А & (B C) . т.е. D = E & F - это операция конъюнкции.
3. Заполнить столбцы с учетом таблиц истинности логических операций.
Составить логическую функцию для заданной таблицы истинности.
Правила построения логической функции по ее таблице истинности:
1. Выделить в таблице истинности те строки, в которых значение функции равно 1 .
2. Выписать искомую формулу в виде дизъюнкции нескольких логических элементов. Число этих элементов равно числу выделенных строк.
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции записать в виде конъюнкции аргументов функции.
4. Если значение какого-либо аргумента функции в соответствующей строке таблице равно 0 , то этот аргумент взять с отрицанием.
Решение.
1. В первой и третьей строках таблицы истинности значение функции равно 1 .
2. Так как строки две, получаем дизъюнкцию двух элементов: () V () .
3. Каждый логический элемент в этой дизъюнкции запишим в виде конъюнкции аргументов функции X и Y : (X & Y) V (X & Y) .
4. Берем аргумент с отрицанием если его значение в соответствующей строке таблицы равно 0 и получаем искомую функцию:
5. Z (X, Y) =(X & Y) V (X & Y) .
Пример 4. Определить участника преступления, исходя из двух посылок:
1) "Если Иванов не участвовал или Петров участвовал, то Сидоров участвовал";
2) 2) "Если Иванов не участвовал, то Сидоров не участвовал".
Решение
Составим выражения:
I - "Иванов участвовал в преступлении";
P - "Петров участвовал в преступлении";
S - "Сидоров участвовал в преступлении".
Запишем посылки в виде формул:
Проверим результат, используя таблицу истинности:
Ответ: Иванов участвовал в преступлении.
Количество входных переменных в заданном выражении равно трем (A,B,C) . Значит, количество входных наборов Q=2 3 =8 .
Столбцы таблицы истинности соответствуют значениям исходных выражений A,B,C , промежуточных результатов и (B V C ), а также искомого окончательного значения сложного арифметического выражения :
| A | B | C | B V C | ||
Проблема определения истинности выражения встаёт перед многими науками. Любая доказательная дисциплина должна опираться на некоторые критерии истинности доказательств. Наука, изучающая эти критерии, называется алгеброй логики. Основной постулат алгебры логики заключается в том, что любое самое витиеватое утверждение может быть представлено в виде алгебраического выражения из более простых утверждений, истинность или ложность которых легко определить.
Для любого "алгебраического" действия над утверждением задаётся правило определения истинности или ложности измененного утверждения, исходя из истинности или ложности исходного утверждения. Эти правила записываются через таблицы истинности выражения . Прежде, чем составлять таблицы истинности, надо поближе познакомиться с алгеброй логики.
Алгебраические преобразования логических выражений
Любое логическое выражение, как и его переменные (утверждения), принимают два значения: ложь или истина . Ложь обозначается нулём, а истина - единицей. Разобравшись с областью определения и областью допустимых значений, мы можем рассмотреть действия алгебры логики.
Отрицание
Отрицание и инверсия - самое простое логическое преобразование. Ему соответствует частица "не." Это преобразование просто меняет утверждение на противоположное. Соответственно, значение утверждения тоже меняется на противоположное. Если утверждение А истинно, то "не А" - ложно. Например, утверждение "прямой угол - это угол, равный девяносто градусов" - истина. Тогда его отрицание "прямой угол не равен девяноста градусам" - ложь.
Таблица истинности для отрицания будет такова:
Дизъюнкция
Эта операция может быть обычной или строгой , их результаты будут различаться.
Обычная дизъюнкция или логическое сложение соответствует союзу "или". Она будет истинной если хотя бы одно из утверждений, входящих в неё - истина. Например, выражение "Земля круглая или стоит на трёх китах" будет истинным, так как первое утверждение - истинно, хоть второе и ложно.В таблице это будет выглядеть так:
Строгую дизъюнкцию или сложение по модулю также называют "исключающим или" . Эта операция может принимать вид грамматической конструкции "одно из двух: либо..., либо...". Здесь значение логического выражения будет ложным, если все утверждения, входящие в него, имеют одинаковую истинность. То есть, оба утверждения либо вместе истинны, либо вместе ложны.
Таблица значений исключающего или
Импликация и эквивалентность
Импликация представляет собой следствие и грамматически может быть выражена как "из А следует Б". Здесь утверждение А будет называться предпосылкой, а Б - следствием. Импликация может быть ложной, только в одном случае: если предпосылка истинна, а следствие ложно. То есть, ложь не может следовать из истины. Во всех остальных случаях импликация истинна. Варианты, когда оба утверждения имеют одинаковую истинность, вопросов не вызывают. Но почему верное следствие из неверной предпосылки - истина? Дело в том, что из ложной предпосылки может следовать что угодно. Это и отличает импликацию от эквивалентности.
В математике (и других доказательных дисциплинах) импликация используется для указания необходимого условия. Например, утверждение А - "точка О - экстремум непрерывной функции", утверждение Б - "производная непрерывной функции в точке О обращается в ноль". Если О, действительно, точка экстремума непрерывной функции, то производная в этой точке будет, и вправду, равна нулю. Если же О не является точкой экстремума, то производная в этой точке может быть нулевой, а может не быть. То есть Б необходимо для А, но не достаточно.
Таблица истинности для импликации выглядит следующим образом:
Логическая операция эквивалентность, по сути, является взаимной импликацией . "А эквивалентно Б" означает, что "из А следует Б" и "из Б следует А" одновременно. Эквивалентность верна, когда оба утверждения либо одновременно верные, либо одновременно неверные.
В математике эквивалентность используется для определения необходимого и достаточного условия. Например, утверждение А - "Точка О является точкой экстремума непрерывной функции", утверждение Б - "В точке О производная функции обращается в ноль и меняет знак". Эти два утверждения эквивалентны. Б содержит необходимое и достаточное условие для А. Обратите внимание, что в данном примере утверждений Б на самом деле является конъюнкцией двух других: "производная в точке О обращается в ноль" и "производная в точке О меняет знак".
Прочие логические функции
Выше были рассмотрены основные логические операции, которые часто используются. Есть и другие функции, которые используются:
- Штрих Шеффера или несовместимость представляет собой отрицание конъюнкции А и Б
- Стрелка Пирса представляет сбой отрицание дизъюнкции.
Построение таблиц истинности
Чтобы построить таблицу истинности для какого-либо логического выражения, надо действовать в соответствии с алгоритмом:
- Разбить выражение на простые утверждения и обозначить каждое из них как переменную.
- Определить логические преобразования.
- Выявить порядок действий этих преобразований.
- Сосчитать строки в будущей таблице. Их количество равно два в степени N, где N - число переменных, плюс одна строка для шапки таблицы.
- Определить число столбцов. Оно равно сумме количества переменных и количества действий. Можно представлять результат каждого действия в виде новой переменной, если так будет понятней.
- Шапка заполняется последовательно, сначала все переменные, потом результаты действий в порядке их выполнения.
- Заполнение таблицы надо начать с первой переменной. Для неё количество строк делится пополам. Одна половина заполняется нулями, вторая - единицами.
- Для каждой следующей переменной нули и единицы чередуются вдвое чаще.
- Таким образом заполняются все столбцы с переменными и для последней переменной значение меняется в каждой строке.
- Потом последовательно заполняются результаты всех действий.
В итоге последний столбец отобразит значение всего выражения в зависимости от значения переменных.
Отдельно следует сказать о порядке логических действий . Как его определить? Здесь, как и в алгебре, есть правила, задающие последовательность действий. Они выполняются в следующем порядке:
- выражения в скобках;
- отрицание или инверсия;
- конъюнкция;
- строгая и обычная дизъюнкция;
- импликация;
- эквивалентность.
Примеры
Для закрепления материала можно попробовать составить таблицу истинности для ранее упомянутых логических выражений. Рассмотрим три примера:
- Штрих Шеффера.
- Стрелка Пирса.
- Определение эквивалентности.
Штрих Шеффера
Штрих Шеффера - это логическое выражение, которое можно записать в виде "не (А и Б)". Здесь две переменные, и два действия. Конъюнкция в скобках, значит, она выполняется первой. В таблице будет шапка и четыре строки со значениями переменных, а также четыре столбца. Заполним таблицу:
| А | Б | А и Б | не (А и Б) |
| Л | Л | Л | И |
| Л | И | Л | И |
| И | Л | Л | И |
| И | И | И | Л |
Отрицание конъюнкции выглядит как дизъюнкция отрицаний. Это можно проверить, если составить таблицу истинности для выражения "не А или не Б". Проделайте это самостоятельно и обратите внимание, что здесь будет уже три операции.
Стрелка Пирса
Рассматривая Стрелку Пирса, которая представляет собой отрицание дизъюнкции "не (А или Б)", сравним её с конъюнкцией отрицаний "не А и не Б". Заполним две таблицы:
| А | Б | не А | не Б | не А и не Б |
| Л | Л | И | И | И |
| Л | И | И | Л | Л |
| И | Л | Л | И | И |
| И | И | Л | Л | Л |
Значения выражений совпали. Изучив два эти примера, можно прийти к выводу, как раскрывать скобки после отрицания: отрицание применяется ко всем переменным в скобках, конъюнкция меняется на дизъюнкцию, а дизъюнкция - на конъюнкцию.
Определение эквивалентности
Про утверждения А и Б можно сказать, что они эквивалентны, тогда и только тогда, когда из А следует Б и из Б следует А. Запишем это как логическое выражение и построим для него таблицу истинности. "(А эквивалентно Б) эквивалентно (из А следует Б) и (из Б следует А)".
Здесь две переменных и пять действий. Строим таблицу:
В последнем столбце все значения истинные. Это значит, что приведенное определение эквивалентности верно при любых значениях А и Б. Значит, оно всегда истинно. Именно так с помощью таблицы истинности можно проверить корректность любых определений и логических построений.
Решение логических выражений принято записывать в виде таблиц истинности – таблиц, в которых по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах его переменных.
При составлении таблицы истинности для логического выражения необходимо учитывать порядок выполнения логических операций , а именно:
- действия в скобках,
- инверсия (отрицание ),
- & (конъюнкция ),
- v (дизъюнкция ),
- => (импликация ),
- <=> (эквивалентность ).
Алгоритм составления таблицы истинности :
1. Выяснить количество строк в таблице (вычисляется как 2 n , где n – количество переменных + строка заголовков столбцов).
2. Выяснить количество столбцов (вычисляется как количество переменных + количество логических операций).
3. Установить последовательность выполнения логических операций.
4. Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных.
5. Заполнить таблицу истинности по столбцам.
6. Записать ответ.
|
Пример 6 Построим таблицу истинности для выражения F =(Av B )&(¬ A v ¬ B ) .1. Количество строк=2 2 (2 переменных+строка заголовков столбцов)=5. 2. Количество столбцов=2 логические переменные (А, В)+ 5 логических операций (v ,&, ¬ , v , ¬ ) = 7. 3. Расставим порядок выполнения операций: 1 5 2 43 (A v B ) & (¬ A v ¬ B ) 4-5. Построим таблицу и заполним ее по столбцам:
6. Ответ: F =0, при A= B=0 и A= B=1 Пример 7 Построим таблицу истинности для логического выражения F = X v Y & ¬ Z . 1. Количество строк=2 3 +1=(3 переменных+строка заголовков столбцов)=9. 2. Количество столбцов=3 логические переменные+3 логических операций = 6. 3. Укажем порядок действий: 3 2 1 X v Y & ¬ Z 4-5. Построи м таблицу и заполним ее по столбцам:
6. Ответ: F =0, при X= Y= Z= 0; при X= Y=0 и Z= 1. |
Упражнение 8
Постройте таблицы истинности для следующих логических выражений:
1. F =(Av B )&(¬ A& ¬ B).
2. F = X&¬ Yv Z.
Проверьте себя (эталон ответов)
Обратите внимание!
Наборы входных переменных, во избежание ошибок, рекомендуется перечислять следующим образом:
А) разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть колонки нулями, а нижнюю единицами;
Б) разделить колонкузначенийвторой переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами нулей и единиц, начиная с группы нулей;
В) продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами нулей или единиц до тех пор, пока группы нулей и единиц не будут состоять из одного символа.
Тавтология - тождественно истинная формула истина " ("1
Противоречие - тождественно ложная формула , или формула принимающая значение "ложь " ("0 ") при любых входящих в нее значениях переменных.
Равносильные формулы - две формулы А и В принимающие одинаковые значения, при одинаковых наборах значений входящих в них переменных. Равносильность двух формул алгебры логики обозначается символом .
Страница 1
Урок информатики по теме "Основы логики, таблицы истинности"
Тема: Как построить таблицу истинности?
Продолжительность урока: 40 минТип урока: комбинированный:
проверка знаний – устная работа;
новый материал – лекция;
закрепление – практические упражнения;
проверка знаний – задания для самостоятельной работы.
Обучающие:
Научить составлять логические выражения из высказываний
Ввести понятие “таблица истинности”
Изучить последовательность действий построения таблиц истинности
Научить находить значение логических выражений посредством построения таблиц истинности
Развивающие:
Развивать логическое мышление
Развивать внимание
Развивать память
Развивать речь учащихся
Воспитательные:
Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
Воспитывать аккуратность ведения тетради
Воспитывать дисциплинированность
Организационный момент (2 мин).
Повторение материала предыдущего урока +проверка домашнего задания (устный опрос) (5 мин).
Объяснение нового материала (10 мин).
Физкультминутка (1 мин).
Закрепление
разбор примера (5 мин);
практические упражнения (10 мин);
задания для самостоятельной работы (5 мин).
белая доска;
раздаточный справочный материал “Таблицы истинности”;
демонстрация презентации “Таблицы истинности”.
1. Организационный момент
Приветствие.
Проверка отсутствующих в классе.
Объявление оценок за прошлый урок.
3 учащихся работают по карточкам:
Соедините правильные определения или обозначения:
|
1. Логика |
1. |
|
2. Высказывание |
2. Логическое сложение |
|
3. Алгебра логики |
3. Наука о формах и способах мышления |
|
4. Логическая переменная |
4. Логическое отрицание |
|
5. Дизъюнкция |
5. ИСТИНА и ЛОЖЬ |
|
6. Инверсия |
6.  |
|
7. Конъюнкция |
7.  |
|
8. Импликация |
8. Наука об операциях над высказываниями |
|
9. Эквивалентность |
9. Повествовательное предложения, в котором что-либо утверждается или отрицается, которое может быть истинным или ложным |
Остальные устно.
1)Примеры записаны на доске:
Для логических выражений сформулируйте составные высказывания на обычном языке:
Б) (X=Y) и (X=Z). (Ответ: числа X , Y и Z равны между собой)
2) Приведите примеры составных высказываний из школьных предметов и запишите их с помощью логических операций: литература, биология, география, история.
Какие логические связки вы использовали? (Инверсия, дизъюнкция и конъюнкция)
Мы увидели, что логика достаточно крепко связана с нашей повседневной жизнью, а также увидели, что почти любое высказывание можно записать в виде формулы.
Давайте вспомним основные определения и понятия:
3. Объяснение нового материала
Из составного высказывания составьте формулу, заменяя простые высказывания переменными.
Задача: В классе оказалось разбито стекло. Учитель объясняет директору: это сделал Коля или Саша. Но Саша этого не делал, так как в это время сдавал мне зачет. Следовательно, это сделал Коля.
Решение: Формализуем данное сложное высказывание:
К – это сделал Коля; С – это сделал Саша.
Форма высказывания:
На прошлом уроке мы находили значение составного высказывания путем подстановки исходных значений входящих логических переменных. А сегодня мы узнаем, что можно построить таблицу истинности, которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных) и, что можно определить значения исходных логических переменных, зная какой нам нужен результат.
Итак, тема сегодняшнего урока: «Как построить таблицу истинности?»
Мы уже несколько уроков подряд используем понятие “таблица истинности”? так что же такое таблица истинности ?
Таблица истинности – это таблица, истинность сложного высказывания при всевозможных значениях входящих переменных.
Еще раз рассмотрим наш пример
и построим таблицу истинности для этого составного высказывания
При построении таблиц истинности есть определенная последовательность действий. Давайте запишем
Необходимо определить количество строк в таблице истинности.
количество строк = 2 n , где n – количество логических переменных
Необходимо определить количество столбцов в таблице истинности.
количество столбцов = количеству логических переменных + количество логических операций.
Необходимо построить таблицу истинности с указанным количеством строк и столбцов, ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов (¬, &, V);
Заполнить столбцы входных переменных наборами значений
Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
|
К |
С |
 |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
4. Физкультминутка
Закрепление
разбор примера.
практические упражнения.
задания для самостоятельной работы.
А) 
|
А |
В |
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
Б) 
|
А |
В |
 |
 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
В) 
|
А |
В |
С |
|
 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
Задание для самостоятельной работы «Кто быстрей?»
Заготовленные карточки учащимся, в которой надо провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной последовательностью.
|
А |
В |
С |
|
|||
Ответ:
|
А |
В |
С |
|
|
 |
 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Обобщение урока, домашнее задание (2 мин).
Д/З не задается, так как урок спаренный, дети приходят через урок и продолжаем изучать тему «Основы логики и логические основы компьютера».
страница 1
Определение 1
Логическая функция – функция, переменные которой принимают одно из двух значений: $1$ или $0$.
Любую логическую функцию можно задать с помощью таблицы истинности: набор всех возможных аргументов записывается в левой части таблицы, а соответствующие значения логической функции – в правой части.
Определение 2
Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения примет составное выражение при всех возможных наборах значений простых выражений, входящих в него.
Определение 3
Равносильными называются логические выражения, последние столбцы таблиц истинности которых совпадают. Равносильность обозначается с помощью знака $«=»$.
При составлении таблицы истинности важно учитывать следующий порядок выполнения логических операций:
Рисунок 1.
Приоритетом в выполнении порядка выполнения операций пользуются скобки.
Алгоритм построения таблицы истинности логической функции
Определяют количество строк: кол-во строк = $2^n + 1$ (для строки заголовка) , $n$ – количество простых выражений. Например, для функций двух переменных существует $2^2 = 4$ комбинации наборов значений переменных, для функций трех переменных – $2^3 = 8$ и т.д.
Определяют количество столбцов: кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций. При определении количества логических операций учитывают также порядок их выполнения.
Заполняют столбцы результатами выполнения логических операций в определенной последовательности, учитывая таблицы истинности основных логических операций.
Рисунок 2.
Пример 1
Составить таблицу истинности логического выражения $D=\bar{A} \vee (B \vee C)$.
Решение:
- инверсия ($\bar{A}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($B \vee C$);
дизъюнкция ($\overline{A}\vee \left(B\vee C\right)$) – искомое логическое выражение.
Кол-во столбцов = $3 + 3=6$.
Определим количество строк:
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Количество переменных – $3$.
Заполним таблицу, учитывая таблицы истинности логических операций.
Рисунок 3.
Пример 2
По данному логическому выражению построить таблицу истинности:
Решение:
- отрицание ($\bar{C}$);
- дизъюнкция, т.к. она находится в скобках ($A \vee B$);
- конъюнкция ($(A\vee B)\bigwedge \overline{C}$);
- отрицание, которое обозначим $F_1$ ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}$);
- дизъюнкция ($A \vee C$);
- конъюнкция ($(A\vee C)\bigwedge B$);
- отрицание, которое обозначим $F_2$ ($\overline{(A\vee C)\bigwedge B}$);
дизъюнкция – искомая логическая функция ($\overline{(A\vee B)\bigwedge \overline{C}}\vee \overline{(A\vee C)\bigwedge B}$).
Определим количество строк:
Количество простых выражений – $n=3$, значит
кол-во строк = $2^3 + 1=9$.
Определим количество столбцов:
Количество переменных – $3$.
Количество логических операций и их последовательность:
