Что такое модель в информатике? Виды, примеры. Понятие модели и моделирования

Понятия модель и моделирование

Первоначально моделью называли некое вспомогательное средство, объект, который в определённой ситуации заменял другой объект. При этом далеко не сразу была понята универсальность законов природы, всеобщность моделирования, т.е. не просто возможность, но и необходимость представлять любые наши знания в виде моделей.

Например, древние философы считали невозможным моделирование естественных процессов, так как, по их представлениям, природные и искусственные процессы подчинялись различным закономерностям. Они полагали, что отобразить природу можно только с помощью логики, методов рассуждений, споров, т.е., по современной терминологии, языковых (дескриптивных) моделей.

Через несколько столетий девизом английского Королевского научного общества стал лозунг «Ничего словами!», который явился кратчайшим изложением принципов естествознания: признавались только выводы, подкреплённые экспериментально или математическими выкладками. В английском языке до сих пор в понятие «наука» не входят области знания, которым в русском языке соответствует термин «гуманитарные науки», – они отнесены к категории «искусств». В результате очень долго понятие «модель» относилось только к материальным объектам специального типа, например манекен (модель человеческой фигуры), гидродинамическая уменьшенная модель плотины, модели судов и самолетов, чучела (модели животных) и т.п.

Осмысливание основных особенностей таких моделей привело к разработке многочисленных определений, типичным примером которых служит следующее: моделью называется некий объект-заместитель, который в определённых условиях может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причём имеет существенные преимущества удобства (наглядность, обозримость, доступность испытаний, лёгкость оперирования с ним и пр.).

Затем были осознаны модельные свойства чертежей, рисунков, карт – реальных объектов искусственного происхождения, воплощающих абстракцию довольно высокого уровня.

Следующий шаг заключался в признании того, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и абстрактные, идеальные построения. Типичным примером служат математические модели. В результате деятельности математиков, логиков и философов, занимавшихся исследованием оснований математики, была создана теория моделей. В ней модель определяется как результат отображения одной абстрактной математической структуры на другую, также абстрактную, либо как результат интерпретации первой модели в терминах и образах второй.

В XX в. понятие модели становится всё более общим, охватывающим и реальные, и идеальные модели. При этом понятие абстрактной модели вышло за пределы математических моделей, стало относиться к любым знаниям и представлениям о мире.

Следует отметить, что споры вокруг такого широкого толкования понятия модели продолжаются и поныне. Рассмотрим аргументы, фигурирующие в таких спорах. Стоит ли понятие абстрактной модели распространять на такие формы научных знаний, как законы, гипотезы, теории? Сторонники положительного ответа на этот вопрос отмечают, что психологический барьер неприятия объясняется тем, что понятия гипотезы, закономерности, теории сформировались и установились в языке науки и философии значительно раньше, чем понятие модели. Эти понятия, будучи исторически первыми, воспринимаются и как логически первичные, причём в этой схеме модели отводится роль лишь вспомогательного средства. Однако при этом содержание понятия модели обедняется, неоправданно сужается. Дело в том, что классифицировать гипотезу или теорию как модель вовсе не означает подмену одного понятия другим или отождествление этих, безусловно, разных понятий. Модели могут быть качественно различными, они образуют иерархию, в которой модель более высокого уровня (например, теория) содержит модели нижних уровней (скажем, гипотезы) как свои части, элементы. Важно также, что признание идеальных представлений, научных построений, законов в качестве моделей подчёркивает их относительную истинность.

Другой вопрос, часто возникающий в спорах: не означает ли такое широкое толкование модели, что это понятие становится применимым ко всему и, следовательно, логически пустым? Этот вопрос даёт возможность обсудить некоторые особенности моделей. Во-первых, ещё раз отметим иерархичность моделей, поэтому применительно к разным объектам понятие модели может иметь разное содержание. Во-вторых, тот факт, что любой объект может быть использован как модель, вовсе не означает, что он не может быть ничем иным. Например, ботинок также может являться моделью его владельца (скажем, по запаху ботинка сыскная собака отыщет преследуемого; по состоянию ботинка можно судить о некоторых особенностях сложения и даже чертах характера его хозяина), но это не лишает смысла ни понятие «обувь», ни понятие «модель».

В-третьих, самые общие понятия совсем не являются логически пустыми: материя, движение, энергия, организация, система, модель.

Сначала в сфере научных дисциплин информационного, кибернетического, системного направления, а затем и в других областях науки модель стала осознаваться как нечто универсальное, хотя и реализуемое различными способами. Модель есть способ существования знаний.

В широком смысле под моделированием следует понимать процесс адекватного отображения наиболее существенных сторон исследуемого объекта или явления с точностью, которая необходима для практических нужд. В общем случае моделированием можно назвать также особую форму опосредствования, основой которого является формализованный подход к исследованию сложной системы.

Теоретической базой моделирования является теория подобия. Подобие – это взаимно однозначное соответствие между двумя объектами, при котором известны функции перехода от параметров одного объекта к параметрам другого, а математические описания этих объектов могут быть преобразованы в тождественные. Теория подобия даёт возможность установить наличие подобия или позволяет разработать способ его получения.

Таким образом, моделирование – это процесс представления объекта исследования адекватной (подобной) ему моделью и проведения экспериментов с моделью для получения информации об объекте исследования. При моделировании модель выступает и как средство, и как объект исследований, находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Иными словами, модель – это физическая или информационная система, представляющая собой объект исследования адекватно целям исследования.

Назначение моделей

Моделирование – неотъемлемый этап всякой целенаправленной деятельности. Целевой характер имеет любая деятельность человека, она всегда целесообразна, целенаправленна. Всякий процесс труда есть деятельность, направленная на достижение определённой цели. Цель – образ желаемого будущего, т.е. модельсостояния , на реализацию которого направлена деятельность.

Однако роль моделирования этим не ограничивается. Системность деятельности проявляется в том, что она осуществляется по определённому плану, или, как чаще говорят, по алгоритму. То есть алгоритм – образ будущей деятельности, её модель. В алгоритме моделируются все возможные ситуации, в зависимости от различных промежуточных значений параметров; возможные шаги деятельности не выполняются реально, а проигрываются на модели.

Моделирование возникает в таких сферах человеческой деятельности, как познание, общение, практическая деятельность. Человека (субъекта моделирования) могут интересовать: внешний вид, структура, поведение объекта моделирования. Цели и задачи моделирования влияют на выбор одного из этих трёх аспектов. Каждый аспект моделирования раскрывается через совокупность свойств.

Так, описание внешнего вида объекта сводится к перечислению его признаков. В языке эти признаки часто выражаются прилагательными: красивый, жёлтый, круглый, длинный и т.п.

Описание структуры обычно сводится к перечислению составных элементов объекта и указанию связи между ними. В языке эти элементы и связи часто выражаются именами существительными: электрон, протон, нейтрон, сила притяжения, энергетический уровень (при описании атома).

Поведение объекта характеризуется изменением его внешнего вида и структуры с течением времени в результате взаимодействия с другими объектами. В языке, как правило, оно выражается глаголами: сохраняется, развивается, укрупняется, перестраивается, преломляется, превращается и т.д.

Некоторые свойства можно охарактеризовать величинами, принимающими числовые значения. Например, единицами массы, длины, мощности и пр. В этом случае они называются параметрами.

Как правило, моделирование внешнего вида объекта необходимо для идентификации (узнавания) объекта (создание фоторобота преступника), долговременного хранения (фотография, портрет). Моделирование структуры объекта необходимо для её наглядного представления, изучения свойств объекта, выявления значимых связей, изучения стабильности объекта и пр. Поведением объекта назовем изменения, происходящие с ним с течением времени. Моделирование поведения необходимо для: прогнозирования, установления связей с другими объектами, управления, конструирования технических устройств и пр.

1.2. Виды моделей

Множественность моделей одного объекта обусловлена в частности тем, что для разных целей требуется строить (использовать) разные модели. Одним из оснований классификации моделей может быть соотнесение типов моделей с типами целей. Например, модели можно разделить на познавательные и прагматические.

Познавательные модели являются формой организации и представления знаний, средством соединения новых знаний с имеющимися. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встаёт задача устранения этого расхождения с помощью изменения модели путём приближения модели к реальности.

Прагматические модели являются средством управления, средством организации практических действий, способом представления образцово правильных действий или их результата. Поэтому при обнаружении расхождения между моделью и реальностью встает задача устранения этого расхождения с помощью изменения реальности так, чтобы приблизить её к модели. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер, играют роль стандарта, образца, под которые «подгоняются» как сама деятельность, так и её результат.

Примерами прагматических моделей могут служить планы, программы действий, уставы организаций, кодексы законов, алгоритмы, рабочие чертежи и шаблоны, параметры отбора, технологические допуски, экзаменационные требования и т.п.

Различают физические и абстрактные модели. Физические модели образуются из совокупности материальных объектов. Для их построения используются различные физические свойства объектов, причём природа применяемых в модели материальных элементов не обязательно та же, что и в исследуемом объекте. Примером физической модели является макет.

Информационная (абстрактная) модель – это описание объекта исследований на каком-либо формальном языке. Абстрактность модели проявляется в том, что её компонентами являются понятия, а не физические элементы (например, словесные описания, чертежи, схемы, графики, таблицы, алгоритмы или программы, математические описания).

Информационные модели описывают поведение объекта-оригинала, но не копируют его. Информационная модель – это целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойства этого объекта.

Среди информационных (абстрактных) моделей различают:

– дескриптивные, наглядные и смешанные;

– гносеологические, инфологические, кибернетические, сенсуальные (чувственные), концептуальные, математические.

Гносеологические модели направлены на изучение объективных законов природы (например, модели солнечной системы, биосферы, мирового океана, катастрофических явлений природы).

Инфологическая модель (узкое толкование) – параметрическое представление процесса циркуляции информации, подлежащее автоматизированной обработке.

Сенсуальные модели – модели каких-то чувств, эмоций, либо модели, оказывающие воздействие на чувства человека (например, музыка, живопись, поэзия).

Концептуальная модель – это абстрактная модель, выявляющая причинно-следственные связи, присущие исследуемому объекту и существенные в рамках определённого исследования. Основное назначение концептуальной модели – выявление набора причинно-следственных связей, учёт которых необходим для получения требуемых результатов. Один и тот же объект может представляться различными концептуальными моделями, которые строятся в зависимости от цели исследования. Так, одна концептуальная модель может отображать временные аспекты функционирования системы, иная – влияние отказов на работоспособность системы.

Математическая модель – абстрактная модель, представленная на языке математических отношений. Она имеет форму функциональных зависимостей между параметрами, учитываемыми соответствующей концептуальной моделью. Эти зависимости конкретизируют причинно-следственные связи, выявленные в концептуальной модели, и характеризуют их количественно.

Таким образом, модель – это специальный объект, в некоторых отношениях замещающий оригинал. Принципиально не существует модели, которая была бы полным эквивалентом оригинала. Любая модель отражает лишь некоторые стороны оригинала. Поэтому с целью получения больших знаний об оригинале приходится пользоваться совокупностью моделей. Сложность моделирования как процесса заключается в соответствующем выборе такой совокупности моделей, которые замещают реальное устройство или объект в требуемых отношениях.

Например, систему дифференциальных уравнений, описывающую переключательные процессы в элементах цифрового устройства, можно использовать для оценки их быстродействия (времени переключения), но нецелесообразно применять для построения тестов или временных диаграмм работы устройства. Очевидно, в последних случаях необходимо воспользоваться какими-либо другими моделями, например, логическими уравнениями.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

1. Объект, система, модель

Заключение

Список литературы

Введение

Моделированием называют построение модели того или иного явления реального мира. В общем виде модель - это абстракция реального явления, сохраняющая его существенную структуру таким образом, чтобы ее анализ дал возможность определить влияние одних сторон явления на другие или же на явления в целом. В зависимости от логических свойств и связей моделей с отображаемыми явлениями можно все модели разделить на три типа: изобразительные, аналоговые и математические.

Специалист должен представлять себе современное состояние науки о моделировании, знать основные модели, их свойства и соответствующие методы решения. Каждый тип моделей имеет свои особенности, ориентирован на тот или иной класс задач, связан с определенными требованиями к вычислительной технике и т. п. В этой связи становится важной классификация моделей.

1. Объект, система, модель

Модель - это искусственно созданный объект, дающий упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, отражающий существенные стороны изучаемого объекта с точки зрения цели моделирования. Моделирование - это построение моделей, предназначенных для изучения и исследования объектов, процессов или явлений.

Объект, для которого создается модель, называют оригиналом или прототипом. Любая модель не является абсолютной копией своего оригинала, она лишь отражает некоторые его качества и свойства, наиболее существенные для выбранной цели исследования. При создании модели всегда присутствуют определенные допущения и гипотезы.

Системный подход позволяет создавать полноценные модели. Особенности системного подхода заключаются в следующем. Изучаемый объект рассматривается как система, описание и исследование элементов которой не выступает как сама цель, а выполняется с учетом их места (наличие подзадач). В целом объект не отделяется от условий его существования и функционирования. Объект рассматривается как составная часть чего-то целого (сам является подзадачей). Один и тот же исследуемый элемент рассматривается как обладающий разными характеристиками, функциями и даже принципами построения. При системном подходе на первое место выступают не только причинные объяснения функционирования объекта, но и целесообразность включения его в состав других элементов. Допускается возможность наличия у объекта множества индивидуальных характеристик и степеней свободы. Альтернативы решения задач сравниваются в первую очередь по критерию "стоимость-эффективность".

2. Виды моделей. Информационная модель

Модель - общенаучное понятие, означающее как идеальный, так и физический объект анализа. Важным классом идеальных моделей является математическая модель - в ней изучаемое явление или процесс представлены в виде абстрактных объектов или наиболее общих математических закономерностей, выражающих либо законы природы, либо внутренние свойства самих математических объектов, либо правила логических рассуждений.

Границы между моделями различных типов или классов, а также отнесение модели к какому-то типу или классу чаще всего условны. Наиболее распространенные признаки, по которым классифицируются модели:

Цель использования;

Область знаний;

Фактор времени;

Способ представления.

По целям использования выделяются модели учебные, опытные, имитационные, игровые, научно-технические.

По области знаний выделяются модели биологические, экономические, исторические, социологические и т.д.

По фактору времени разделяются модели динамические и статические. Статическая модель отражает строение и параметры объекта, поэтому ее называют также структурной. Она описывает объект в определенный момент времени, дает срез информации о нем. Динамическая модель отражает процесс функционирования объекта или изменения и развития процесса во времени.

Любая модель имеет конкретный вид, форму или способ представления, она всегда из чего-то и как-то сделана или представлена и описана. В этом классе, прежде всего, модели рассматриваются как материальные и нематериальные.

Материальные модели - это материальные копии объектов моделирования. Они всегда имеют реальное воплощение, воспроизводят внешние свойства или внутреннее строение, либо действия объекта-оригинала. Материальное моделирование использует экспериментальный (опытный) метод познания.

Нематериальное моделирование использует теоретический метод познания. По-другому его называют абстрактным, идеальным. Абстрактные модели, в свою очередь, делятся на воображаемые и информационные.

Информационная модель - это совокупность информации об объекте, описывающая свойства и состояние объекта, процесса или явления, а также связи и отношения с окружающим миром. Информационные модели представляют объекты в виде, словесных описаний, текстов, рисунков, таблиц, схем, чертежей, формул и т.д. Информационную модель нельзя потрогать, у нее нет материального воплощения, она строится только на информации. Ее можно выразить на языке описания (знаковая модель) или языке представления (наглядная модель).Одна и та же модель одновременно относится к разным классам деления. Например, программы, имитирующие движение тел. Такие программы используются на уроках физики (область знания) с целями обучения (цель использования). В то же время они являются динамическими, так как учитывают положение тела в разные моменты времени, и алгоритмическими по способу реализации.

Форма представления информационной модели зависит от способа кодирования (алфавита) и материального носителя.

Воображаемое (мысленное или интуитивное) моделирование - это мысленное представление об объекте. Такие модели формируются в воображении человека и сопутствуют его сознательной деятельности. Они всегда предшествуют созданию материального объекта, материальной и информационной модели, являясь одним из этапов творческого процесса.

Вербальное моделирование (относится к знаковым) - это представление информационной модели средствами естественного разговорного языка (фонемами). Мысленная модель, выраженная в разговорной форме, называется вербальной. Форма представления такой модели - устное или письменное сообщение. Примерами являются литературные произведения, информация в учебных пособиях и словарях, инструкции пользования устройством, правила дорожного движения.

Наглядное (выражено на языке представления) моделирование - это выражение свойств оригинала с помощью образов. Например, рисунки, художественные полотна, фотографии, кинофильмы. При научном моделировании понятия часто кодируются рисунками - иконическое моделирование. Сюда же относятся геометрические модели - информационные модели, представленные средствами графики.

Образно-знаковое моделирование использует знаковые образы какого-либо вида: схемы, графы, чертежи, графики, планы, карты. Например, географическая карта, план квартиры, родословное дерево, блок-схема алгоритма. К этой группе относятся структурные информационные модели, создаваемые для наглядного изображения составных частей и связей объектов. Наиболее простые и распространенные информационные структуры - это таблицы, схемы, графы, блок-схемы, деревья.

Знаковое (символическое выражено на языке описания) моделирование использует алфавиты формальных языков: условные знаки, специальные символы, буквы, цифры и предусматривает совокупность правил оперирования с этими знаками. Примеры: специальные языковые системы, физические или химические формулы, математические выражения и формулы, нотная запись и т. д. Программа, записанная по правилам языка программирования, является знаковой моделью.

Одним из наиболее распространенных формальных языков является алгебраический язык формул в математике, который позволяет описывать функциональные зависимости между величинами. Составление математической модели во многих задачах моделирования хоть и промежуточная, но очень существенная стадия.

Математическая модель - способ представления информационной модели, отображающий связь различных параметров объекта через математические формулы и понятия. В тех случаях, когда моделирование ориентировано на исследование моделей с помощью компьютера, одним из его этапов является разработка компьютерной модели.

Компьютерная модель - это созданный за счет ресурсов компьютера виртуальный образ, качественно и количественно отражающий внутренние свойства и связи моделируемого объекта, иногда передающий и его внешние характеристики. Компьютерная модель представляет собой материальную модель, воспроизводящую внешний вид, строение или действие моделируемого объекта посредством электромагнитных сигналов. Разработке компьютерной модели предшествуют мысленные, вербальные, структурные, математические и алгоритмические модели.

3. Классификация с различных точек зрения

Классификация моделей может быть проведена с различных точек зрения. Рассмотрим некоторые из них.

1. Классификация по целевому назначению.

Модели структуры описывают связи между средой и компонентами системы. Из них можно выделить: канонические модели, где описана связь с окружающей средой через вход и выход; модели внутренней структуры, описывающие состав компонентов системы и связь между ними; модели иерархической структуры, где целое расчленяется на элементы более низкого уровня (обычно в виде дерева структуры системы) и др.

Модели функционирования - модели жизненного цикла системы в целом; модели операции, представляющие описание процессов функционирования отдельных элементов; информационные модели, описывающие взаимосвязи источников и потребителей информации, характер ее преобразования, временные и другие количественные характеристики; процедурные модели, отражающие порядок взаимодействия элементов при выполнении отдельных операций; временные модели, описывающие процедуры функционирования во времени.

Стоимостные модели предназначены для комплексной оценки по экономическим критериям.

2. Классификация по типу задач.

Описательные (дескриптивные) модели (к ним часто приводят, постановки задач типа. А) предназначены для описания изучаемого процесса, объяснения наблюдаемых фактов, а также прогноза поведения системы: модели планирования без оптимизации (балансовые модели); модели для некоторых задач сетевого планирования и управления (расчет по известным формулам); модели для задач учета; модели для задач контроля и анализа (обычно в виде статистических моделей); модели прогнозирования; модели для расчета параметров функционирования случайных систем с неформализованными связями. В описательной модели нет сторон, принимающих решения. Формально число таких сторон в описательной модели равно нулю. Типичным примером подобных моделей является модели систем массового обслуживания. Для построения описательных моделей может также использоваться теория надежности, теория графов, теория вероятностей, метод статических испытаний (метод Монте-Карло).

Нормативные, или прескриптивные модели, к которым обычно приводят постановки задач типа В. В моделях такого типа отражается то, что должно было бы происходить, если принять некоторые исходные предположения. Построение нормативных моделей преследует цель определения наилучшего эффекта или состояния. С их помощью дается ответ на вопросы о том, как должно быть. Для нормативной модели характерно множество сторон. Принципиально можно выделить два вида нормативных моделей: модели оптимизации и теоретико-игровые.

В моделях оптимизации основная задача выработки решений технически сводится к строгой максимизации или минимизации критерия эффективности, т.е. определяются такие значения управляемых переменных, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения (максимума или минимума). Для выработки решений отображаемых моделями оптимизации, наряду с классическими и новыми вариационными методами (поиск экстремума) наиболее широко используется методы математического программирования (линейное, нелинейное, динамическое).

Для теоретико-игровой модели характерна множественность числа сторон (не менее двух). Если двое с противоположными интересами, то используется теория игр, если число более двух и между ними невозможны коалиции и компромиссы, то используется теория бескоалиционных игр n-лиц. В теоретико-игровых моделях учитывается недостаточность информации о действиях противника и необходимость принимать решение в условиях неопределенности. Теоретико-игровой подход в том, по существу, и состоит, что выявляется наименее благоприятное вероятностное распределение значений неуправляемых переменных и находится оптимальное действие в этих наименее благоприятных условиях. Недостаток теоретико-игровой модели по сравнению со стохастической (точно так же, как и недостаток стохастической модели по сравнению с детерминированной) состоит в больших математических трудностях в теоретическом плане и в существенно большем объеме вычислительных работ в плане практическом.

Модели конструирования решений, выступающие в виде формализованных схем построения комплексных: решений. Они обычно включают в качестве элементов и дескриптивные, и нормативные модели. К таким моделям обычно приводят постановки задач типа С.

3. Классификация по форме реализации.

Аналитические модели, записывающиеся в виде математических конструкций, не включающих логических условий, приводящих к разветвлению вычислительного процесса.

Алгоритмические модели - это математические модели, в которых присутствуют логические условия, приводящие к разветвлению вычислительного процесса.

4. Классификация по отношению ко времени.

Различают статические и динамические модели. Статические модели - это модели, в которых время не является переменной (инвариантны ко времени). В динамических же моделях одной из переменных является время (являются функцией времени).

5. Классификация по характеру зависимости выходных параметров от входных модели.

Делятся на детерминированные и стохастические. Если существуют функциональные зависимости выходных параметров от входных, то модели являются детерминированными, если эти зависимости неизвестны, а известно лишь математическое описание выходов в виде функции входов, модели называются стохастическими.

Детерминированная модель строится в тех случаях, когда факторы, влияющие на исход операции, поддаются достаточно точному измерению или оценке, а случайные факторы либо отсутствуют, либо или можно ими пренебречь.

В стохастических моделях реальность отображается как некоторый случайный процесс, ход и исход которого описывается теми или иными характеристиками случайных величин: математическими отношениями, дисперсиями, функциями распределения и т.д. Построение такой модели возможно, если имеется достаточный фактический материал для оценки необходимых вероятностных распределений или если теория рассматриваемого явления позволяет определить эти распределения теоретически (на основе формул теории вероятностей, предельных теорем и т.д.)

6. Классификация по виду критерия эффективности и наложенных ограничений.

Два типа: линейные и нелинейные. В линейных моделях критерий эффективности и наложенные ограничения являются линейными функциями переменных модели. Допущение о линейной зависимости критерия эффективности и совокупности наложенных ограничений от переменных модели на практике вполне приемлемым. Это позволяет для выработки решений использовать хорошо разработанный аппарат линейного программирования.

7. Классификация по характеру времени.

Динамические модели делятся на непрерывные и дискретные. Первые функционируют в непрерывном времени, а вторые - в дискретном. Примером непрерывных детерминированных моделей могут служить дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения; примером дискретных детерминированных моделей - конечные автоматы, дискретных стохастических - вероятностные автоматы.

Заключение

Модель - очень широкое понятие, включающее в себя множество способов представления изучаемой реальности. Различают модели материальные (натурные) и идеальные (абстрактные). Материальные модели основываются на чем-то объективном, существующем независимо от человеческого сознания (каких-либо телах или процессах). Материальные модели делят на физические и аналоговые, основанные на процессах, аналогичных в каком-то отношении изучаемому. Между физическими и аналоговыми моделями можно провести границу и такая классификация моделей будет носить условный характер.

Еще более сложную картину представляют идеальные модели, неразрывным образом связанные с человеческим мышлением, воображением, восприятием. Среди идеальных моделей можно выделить интуитивные модели, к которым относятся, но единого подхода к классификации остальных видов идеальных моделей нет. Такой подход является не вполне оправданным, так как он переносит информационную природу познания на суть используемых в процессе моделей - при этом любая модель является информационной. Более продуктивным представляется такой подход к классификации идеальных моделей:

1. Вербальные (текстовые) модели. Эти модели используют последовательности предложений на формализованных диалектах естественного языка для описания той или иной области действительности (примерами такого рода моделей являются милицейский протокол, правила дорожного движения, настоящий учебник).

2. Математические модели - очень широкий класс знаковых моделей (основанных на формальных языках над конечными алфавитами), широко использующих те или иные математические методы. Например, математическая модель звезды. Эта модель будет представлять собой сложную систему уравнений, описывающих физические процессы, происходящие в недрах звезды. Математической моделью другого рода являются, например, математические соотношения, позволяющие рассчитать оптимальный (наилучший с экономической точки зрения) план работы какого-либо предприятия.

модель знание время

Список литературы

1. Олзоева С.И. Моделирование и расчёт распределённых информационных систем. Учебное пособие. - Улан-Удэ: Изд-во ВСГТУ, 2004. - 67 с.

2. Тихонов А.И. Основы теории подобия и моделирования (электрические машины): Учеб. пособие / ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина». - Иваново, 2011. - 132 с.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Составление и проверка матрицы планирования. Получение математической модели объекта. Проверка адекватности математического описания. Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта.

курсовая работа , добавлен 31.08.2010

Типовые модели менеджмента: примеры экономико-математических моделей и их практического использования. Процесс интеграции моделей разных типов в более сложные модельные конструкции. Определение оптимального плана производства продуктов каждого вида.

контрольная работа , добавлен 14.01.2015

Основные методы прогнозирования. Критерии качества прогнозных моделей. Разработка прогнозной модели. Классификация прогнозных моделей. Математическая прогнозная модель. Разработка аналитических моделей. Основные ограничения длины прогнозного периода.

презентация , добавлен 09.07.2015

Расчет параметров уравнения регрессии, среднего коэффициента эластичности и средней ошибки аппроксимации по рынку вторичного жилья. Определение идентификации моделей денежного и товарного рынков, выбор метода оценки параметров модели, оценка его качества.

контрольная работа , добавлен 23.06.2010

Построение модели управления запасами в условиях детерминированного спроса. Методы и приемы определения оптимальных партий поставки для однопродуктовых и многопродуктовых моделей. Определение оптимальных параметров системы управления движением запасов.

реферат , добавлен 11.02.2011

Основные понятия математических моделей и их применение в экономике. Общая характеристика элементов экономики как объекта моделирования. Рынок и его виды. Динамическая модель Леонтьева и Кейнса. Модель Солоу с дискретным и непрерывным временем.

курсовая работа , добавлен 30.04.2012

Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.

реферат , добавлен 16.05.2012

Основы экономико-математического моделирования управления фирмой. Понятие и роль управления проектами. Методы построения сетевых моделей и календарных планов. Оптимизация сетевых моделей. Корректировка стоимостных и ресурсных параметров сетевого графика.

курсовая работа , добавлен 21.12.2014

Особенности формирования и способы решения оптимизационной задачи. Сущность экономико-математической модели транспортной задачи. Характеристика и методика расчета балансовых и игровых экономико-математических моделей. Свойства и признаки сетевых моделей.

практическая работа , добавлен 21.01.2010

Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.

Модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Модель - создаваемый с целью получения и (или) хранения информации специфический объект (в форме мысленного образа, описания знаковыми средствами либо материальной системы), отражающий свойства, характеристики и связи объекта – оригинала произвольной природы, существенные для задачи, решаемой субъектом.

Моделирование – процесс создания и использования модели.

Цели моделирования

Познание действительности
Проведение экспериментов
Проектирование и управление
Прогнозирование поведения объектов
Тренировка и обучения специалистов
Обработка информации

Классификация по форме представления

Материальные - воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала и всегда имеют реальное воплощение (детские игрушки, наглядные учебные пособия, макеты, модели автомобилей и самолетов и прочее).
- a) геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно- геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);
- b) основанные на теории подобия субстратно подобные, воспроизводящие с масштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель, (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);
- c) аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).
Информационные - совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также их взаимосвязь с внешним миром).
- 2.1. Вербальные - словесное описание на естественном языке).
- 2.2. Знаковые - информационная модель, выраженная специальными знаками (средствами любого формального языка).
  - 2.2.1. Математические - математическое описание соотношений между количественными характеристиками объекта моделирования.
  - 2.2.2. Графические - карты, чертежи, схемы, графики, диаграммы, графы систем.
  - 2.2.3. Табличные - таблицы: объект-свойство, объект-объект, двоичные матрицы и так далее.
Идеальные – материальная точка, абсолютно твердое тело, математический маятник, идеальный газ, бесконечность, геометрическая точка и прочее...
- 3.1. Неформализованные модели - системы представлений об объекте оригинале, сложившиеся в человеческом мозгу.
- 3.2. Частично формализованные .
  - 3.2.1. Вербальные - описание свойств и характеристик оригинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента).
  - 3.2.2. Графические иконические - черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты).
  - 3.2.3. Графические условные - данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем.
- 3.3. Вполне формализованные (математические) модели.

Свойства моделей

Конечность : модель отображает оригинал лишь в конечном числе его отношений и, кроме того, ресурсы моделирования конечны;
Упрощенность : модель отображает только существенные стороны объекта;
Приблизительность : действительность отображается моделью грубо или приблизительно;
Адекватность : насколько успешно модель описывает моделируемую систему;
Информативность : модель должна содержать достаточную информацию о системе - в рамках гипотез, принятых при построении модел;
Потенциальность : предсказуемость модели и её свойств;
Сложность : удобство её использования;
Полнота : учтены все необходимые свойства;
Адаптивность .

Так же необходимо отметить:

Модель представляет собой «четырехместную конструкцию», компонентами которой являются субъект; задача, решаемая субъектом; объект-оригинал и язык описания или способ воспроизведения модели. Особую роль в структуре обобщенной модели играет решаемая субъектом задача. Вне контекста задачи или класса задач понятие модели не имеет смысла.
Каждому материальному объекту, вообще говоря, соответствует бесчисленное множество в равной мере адекватных, но различных по существу моделей, связанных с разными задачами.
Паре задача-объект тоже соответствует множество моделей, содержащих в принципе одну и ту же информацию, но различающихся формами ее представления или воспроизведения.
Модель по определению всегда является лишь относительным, приближенным подобием объекта-оригинала и в информационном отношении принципиально беднее последнего. Это ее фундаментальное свойство.
Произвольная природа объекта-оригинала, фигурирующая в принятом определении, означает, что этот объект может быть материально-вещественным, может носить чисто информационный характер и, наконец, может представлять собой комплекс разнородных материальных и информационных компонентов. Однако независимо от природы объекта, характера решаемой задачи и способа реализации модель представляет собой информационное образование.
Частным, но весьма важным для развитых в теоретическом отношении научных и технических дисциплин является случай, когда роль объекта-моделирования в исследовательской или прикладной задаче играет не фрагмент реального мира, рассматриваемый непосредственно, а некий идеальный конструкт, т.е. по сути дела другая модель, созданная ранее и практически достоверная. Подобное вторичное, а в общем случае n-кратное моделирование может осуществляться теоретическими методами с последующей проверкой получаемых результатов по экспериментальным данным, что характерно для фундаментальных естественных наук. В менее развитых в теоретическом отношении областях знания (биология, некоторые технические дисциплины) вторичная модель обычно включает в себя эмпирическую информацию, которую не охватывают существующие теории.

Признаки классификаций моделей : 1) по области использования;

2) по фактору времени;

3) по отрасли знаний;

4) по форме представления

1) Классификация моделей по области использования :

Учебные модели – используются при обучении;

Опытные – это уменьшенные или увеличенные копии проектируемого объекта. Используют для исследования и прогнозирования его будущих характеристик

Научно - технические - создаются для исследования процессов и явлений

Игровые – репетиция поведения объекта в различных условиях

Имитационные – отражение реальности в той или иной степени (это метод проб и ошибок)

2) Классификация моделей по фактору времени:

Статические – модели, описывающие состояние системы в определенный момент времени (единовременный срез информации по данному объекту). Примеры моделей : классификация животных…., строение молекул, список посаженных деревьев, отчет об обследовании состояния зубов в школе и тд.

Динамические – модели, описывающие процессы изменения и развития системы (изменения объекта во времени). Примеры : описание движения тел, развития организмов, процесс химических реакций.

3) Классификация моделей по отрасли знаний - это классификация по отрасли деятельности человека : Математические, биологические, химические, социальные, экономические, исторические и тд

4) Классификация моделей по форме представления :

Материальные – это предметные (физические) модели. Они всегда имеют реальное воплощение. Отражают внешнее свойство и внутреннее устройство исходных объектов, суть процессов и явлений объекта-оригинала. Это экспериментальный метод познания окружающей среды. Примеры : детские игрушки, скелет человека, чучело, макет солнечной системы, школьные пособия, физические и химические опыты

Абстрактные (нематериальные) – не имеют реального воплощения. Их основу составляет информация. это теоретический метод познания окружающей среды. По признаку реализации они бывают: мысленные и вербальные; информационные

Мысленные модели формируются в воображении человека в результате раздумий, умозаключений, иногда в виде некоторого образа. Это модель сопутствует сознательной деятельности человека.

Вербальные – мысленные модели выраженные в разговорной форме. Используется для передачи мыслей

Информационные модели – целенаправленно отобранная информация об объекте, которая отражает наиболее существенные для исследователя свойств этого объекта.

Типы информационных моделей:

Табличные – объекты и их свойства представлены в виде списка, а их значения размещаются в ячейках прямоугольной формы. Перечень однотипных объектов размещен в первом столбце (или строке), а значения их свойств размещаются в следующих столбцах (или строках)

Иерархические – объекты распределены по уровням. Каждый элемент высокого уровня состоит из элементов нижнего уровня, а элемент нижнего уровня может входить в состав только одного элемента более высокого уровня

Сетевые – применяют для отражения систем, в которых связи между элементами имеют сложную структуру

По степени формализации информационные модели бывают образно-знаковые и знаковые. Напримеры :

Образно-знаковые модели:

Геометрические (рисунок, пиктограмма, чертеж, карта, план, объемное изображение)

Структурные (таблица, граф, схема, диаграмма)

Словесные (описание естественными языками)

Алгоритмические (нумерованный список, пошаговое перечисление, блок-схема)

Знаковые модели:

Математические – представлены матем.формулами, отображающими связь параметров

Специальные – представлены на спец. языках (ноты, хим.формулы)

Алгоритмические – программы

Признаки классификаций моделей:Классификация моделей по области использования

Невозможно представить себе современную науку без широкого применения математического моделирования, суть которого состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод сочетает в себе достоинства, как теории, так и эксперимента, поскольку работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических средств информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Вышесказанное является актуальным в условиях постоянного роста требований к эффективности устройств, применяемых в системах передачи и обработки информации, к сокращению сроков исследования и разработки новых телекоммуникационных систем и сетей.

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемого объекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом, именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведение в рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделирование обычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследования его модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в том случае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний по каким-то причинам лучше вообще не создавать.

МОДЕЛЬ ("модель" от лат. "modelus", что означает "мера") - мысленно предста-вимая или материально реализованная система, которая, отражая и воспроиз-водя объ-ект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изуче-ние ее дает новую информацию об этом объекте . М. в самом широком смысле - это любой мысленный или знаковый образ моделируемого объекта (оригинала).

Таким образом , под моделью мы будем понимать совокупность объектов (понятий, свойств, признаков, знаков, геометрических элементов, материальных предметов) и отношений между ними (называемых моделирующими), которые выражают существенные с точки зрения цели моделирования стороны изучаемого объекта, явления или процесса . Короче, модель - это некоторое упрощённое подобие реального объекта, процесса или явления.

М. строится для достижения определенной цели, однако для одного и того же объ-екта можно построить, преследуя одну и ту же цель, разные модели. Поэтому можно считать, что М. некоторого объекта А (оригинала, прототипа) - это объект В, в каком-то отноше-нии подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него, вы-бранный или по-строенный, по крайней мере, для одной из следующих целей:

1) замена оригинала А моделью B в некотором реальном или воображаемом дейст-вии, ис-ходя из того, что В более удобна для осуществления этого действия в данных условиях (т.н. называемая модель-заместитель );

2) создание наглядного представления об объекте А (реально существующем или вообра-жаемом) с помощью объекта В (т.н. называемая модель-представление );

3) истолкование (интерпретация) объекта А в виде модели В (т.н. называемая мо-дель-ин-терпретация );

4) исследование (изучение) объекта А посредством изучения объекта В (т.н. назы-ваемая исследовательская модель).

Пример.1 . В курсе математики представлены все перечис-ленные виды мо-делей. Так, уравне-ние, со-ставленное по условию текстовой задачи, вы-сту-пает как модель-заместитель исходной задачи; чер-теж некоторого геометрического объекта, построенный для доказательства утверждения, в кото-ром идет речь в этом утверждении, яв-ляется моде-лью-представлением рассматриваемого объекта; урав-нение (x -a ) 2 + (y - b ) 2 = R 2 является моделью-интерпретацией окружности.

М. обычно обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Например, модель-заместитель может использоваться и как модель-представ-ление, и как мо-дель-интерпретация, и как исследовательская модель. Так, модель-ин-терпретация окружно-сти вполне пригодна для исследования свойств окружности, а, значит, она является и моде-лью исследовательской.

По способу построения модели бывают материальные и идеальные . В качестве ма-тери-альных моделей могут выступать копии оригинала (уменьшенные или увеличен-ные), причем они могут быть динамические и статические ; в качестве идеальных - изображения, описа-ния, схемы, чертежи, графики, уравнения, планы, карты, компью-тер-ные программы и т.д.

Пример 2. В медицине многие лекарственные препараты, разрабатывае-мые для лечения людей, первоначально испытывают на животных, которые в этом случае и выступают в качестве модели че-ловека; моделью некоторой местности может служить географическая карта, пользуясь которой, мы получаем нужную нам информацию об этой местности; моделью прямолиней-ного равномерного движения служит уравнение s = v 0 +vt , исследование ко-торого дает воз-можность устанавливать ос-новные закономерности данного вида движения; моделью неко-торого предмета, явления, процесса или ситуации (как реальных, так и «вирту-альных») могут служить компьютерные программы, пре-доставляющие в распоряжение ис-следователя прак-тически неограниченные возможности для их изу-чения и прогнозирования развития; и т.п.

М. всегда является лишь ото-бражением оригинала, и она в каком-либо отношении должна быть не только удобна для изучения свойств исследуемого объекта, но и по-зволяет перенести по-лученные при этом знания на исходный объект. Например, когда в начальных школе учитель намеревается более наглядно продемонстрировать способ сложения нату-ральных чисел, то он использует для этого различные модели этих чи-сел: реальные пред-меты или их изображения, абак, русские счеты, и др. Многие дет-ские игрушки, пред-ставляющие собой модели реальных объектов (автомобилей, по-ездов, животных и т.п.), позволяют ребенку познавать определенные свойства окру-жающих его предметов.

М. строится с тем расчетом, чтобы охватить только те свойства ориги-нала, которые существенны в данной ситуации и являются объектом изучения. Например, сущест-вует разнообразные модели обучения математике; одни из них позволяют исследо-вать сте-пень усвоения материала, другие - познавательную активность, третьи - твор-ческую матема-тическую деятельность, и т.д. Для изучения поведения проектируемого самолета в воздухе строят уменьшенную во много раз его модель и помещают ее в аэродинамическую трубу. Затем по поведению этой модели в различных воздушных потоках, создаваемых в трубе, судят о том, как будет вести себя в полете настоящий самолет.

М., полностью воспроизводящая оригинал, перестает быть моделью.

Существует ряд общих требований к моделям:

1. Адекватность - достаточно точное отображение свойств объекта;

2. Полнота - предоставление получателю всей необходимой информации об объекте;

3. Гибкость - возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров;

4. Трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Моделирование - это процесс построения модели объекта и исследования его свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1. Разработка модели;

2. Исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются отличающиеся по сути методы и средства.

Метод моделирования во многих науках является средством, позволяющим ус-та-навли-вать более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом и способ-ным заменить эксперимент.

Целый ряд исследований вообще невозможен без моде-лирования, по-тому, что:

а) эксперименты могут проводиться лишь на ныне существующих объектах, т.к. невоз-можно распространить эксперимент в область прошлого;

б) вмешательство в некоторые системы иногда имеет такой характер, что невоз-можно ус-тановить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим при-чинам);

в) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низ-кого уровня развития экспериментальной техники или ее высокой стоимости;

г) большую группу экспериментов, связанных с человеком, сле-дует отклонить по мо-рально-этическим соображениям.

Однако М. находит широкое применение не только из-за того, что может за-менить эксперимент.

Оно имеет большое самостоятельное значение и свои преимущества:

1. С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разрабо-тать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явле-ние, и вы-брать наи-более плодотворную из них для теоретического истолкования.

2. В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к иссле-дуемой ги-потезе и получить ее упрощение.

3. В случае сложных моделей можно применять компьютерную технику.

4. Существует возможность проведения модельных экспериментов. И др.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимости от способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса: физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средство исследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов и явлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводят с сохранением его физической природы или используют другое физическое явление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойств оригинала, которые являются существенными в конкретной ситуации. Например, при проектировании нового самолета создается его макет, обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планировании застройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственное расположение ее элементов. В связи с этим физическое моделирование называют также макетированием.

Полунатурное моделирование представляет собой исследование управляемых систем на моделирующих комплексах с включением в состав модели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутую модель входят имитаторы воздействий и помех, математические модели внешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точное математическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальных систем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшить априорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точного математического описания. С помощью полунатурного моделирования исследования выполняются с учетом малых постоянных времени и нелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей с включением реальной аппаратуры используется понятие динамического моделирования, при исследовании сложных систем и явлений - эволюционного, имитационного и кибернетического моделирования.

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть получена только при соблюдении двух условий:

1. Модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2. Модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие проведению исследований на реальных объектах

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - приближенное описание ка-кого-либо явле-ния внешнего мира, выраженное с помощью математической сим-волики . Ма-тематиче-ские модели описываются с помощью средств самой математики: языка , понятий , отно-шений , теорий . В отличие от есте-ственнонауч-ных и гуманитарных дисциплин М.м. обычно не требует создания ма-териали-зованных объектов. Кроме то-го, если все дру-гие науки изу-чают модели, то ма-тематика изучает «модели моделей ». Потому ее мате-риал в наилуч-шей степени соответствует задаче овладения методом моделиро-вания.

Примером М.м. достаточно сложно-го оригинала служит система уравне-ний (и не-равенств) в самом широком понимании. Система может содержать обыкновен-ные дифферен-циальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, алгебраи-ческие и трансцендентные уравнения (и неравенства), набор ве-роятностно-статистических данных и т.д. К математическим моделям относят и про-граммы, составленные для ком-пьютеров, которые моделирую (отражают) оп-ределен-ные процессы, описанные средст-вами математики, положенными в основу ал-горит-мов.

Пример 3. Развитие ЭВМ и методологии системного анализа дало возможность для изуче-ния широкомас-штабных социальных процессов. Возникло так называемое глобальное моде-лирование и на его основе - прогно-зирование мировых социальных явлений.

Основоположником и «идейным отцом» такого рода исследований считается Дж. Форре-стер . В своей ра-боте “Мировая динамика” (1971 г.) он сделал успешную попытку использо-вать математиче-ские методы и ЭВМ для создания варианта модели экономического развития общества с учетом двух важнейших факторов - числен-ности населения и загрязнения окру-жающей среды. Расчеты показали, что при сохранении тенденций развития общества неиз-бежен серьезный кризис во взаимодействии человека и окружающей среды. Этот кризис объяс-няется проти-воречием между ограниченностью земных ресурсов, конечностью пригод-ных для сельскохо-зяйст-венной обработки площадей и все рас-тущими темпами потребления увеличивающегося населения. Рост насе-ления, промышленного и сельскохозяйственного производства приводит к кризису: быстрому загрязнению окру-жающей среды, истощению природных ресурсов, упадку производства и повышению смертности. На основа-нии анализа этих результатов де-лается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материаль-ного по-требления.

В 80-х годах XX века появляются оригинальные работы в области глобального модели-рования в Советском Союзе. Группой ученых под руководством академика Н.Н. Моисеева в Вычисли-тельном Центре АН СССР была сделана попытка проанализировать математиче-скими мето-дами структуру международной конфликтной ситуа-ции. Основной вывод, кото-рый сле-довал из анализа составлен-ной модели, состоял в следующем. Несмотря на сложную зависи-мость целевой функции, общей для всех партнеров (функции риска ядерной войны), в дейст-виях участников конфликта, в такой сверх-сложной и сверхопасной ситуации, какой является гонка ядерных воо-ружений, существует взаимо-выгодный и эффективный компромисс.

М.м. отдельного элемента относительно проще - она может ока-заться геометриче-ским образом, функцией или ее графиком, вектором, матрицей, числовой табли-цей, скалярной величиной или даже конкретным чис-лом.

Построение мо-дели, адекватно отра-жающей объект, - дело непростое и требует специ-альных знаний и хорошей математиче-ской подготовки.

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ сводит исследование внешнего мира к мате-ма-тическим задачам.

Процесс математического моделирования состоит из четырех эта-пов:

1) формализации , т. е. перехода от реальной практической задачи (исследуемой си-туа-ции) к по-строению аде-к-ватной математической модели и формулировки на ее ос-нове абст-рактной математической задачи;

2) решения задачи путем преоб-разования модели (проведение математического иссле-дования ), т.е. получение в результате анализа и исследования модели выходных данных (теоретических сведений);

3) интерпретации полученного результата , когда решение формальной математи-че-ской задачи исследуется на предмет его соответствия с исходной ситуацией, истол-ковыва-ется в терминах исходной ситуации и применяется к ней;

4) модернизации модели , т.е. построение новой более совершенной модели в связи с на-коплением данных об изучаемом объекте или процессе.

Пример 4. Разработка модели Сол-нечной системы . Наблюдения звездного неба, начавшиеся еще в глубокой древности, при-вели к тому, что из всего многообразия небесных светил были выде-лены планеты, которые и стали объектом изучения. Следующим ша-гом явилось изучение закономер-ностей их дви-жений, т.е. построение моделей и получение конкретных резуль-татов. Модели Солнеч-ной системы в процессе своего развития прошли через ряд усовершенствований по мере накоп-ления экспе-риментальных данных и развития науки. Первой была модель Птолемея, создан-ная во II веке нашей эры, исходила из положения, что планеты и Солнце совершают движе-ния вокруг Земли (т.н. геоцентриче-ская модель).

В XVI веке появилась модель Н. Коперника , принципи-ально отличающаяся от предыдущей, пола-гающая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружности (т.н. гелиоцен-три-ческая модель). Затем появи-лась модели И. Кеплера (начало XVII века), И. Ньютона (вторая поло-вина XVII века), описывающие движения пла-нет на ма-тематическом языке. Модель Ньютона , осно-ванная на законе всемирного тяготения, вполне удовлетворительно описывала движение известных планет и давала возможность вы-чис-лять их положение на небо-своде.

Но вот к 40-м годам XIX в. не-которые результаты этой мо-дели стали тоже не согласовываться с экспе-риментальными данными: наблюдаемое движе-ние Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. Французский ученый-ас-троном У. Леверье расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической плане-той (он на-звал ее Нептуном) и, пользуясь новой математической моделью, определил все ос-нов-ные па-раметры этой планеты. В указанное время и на предсказанном им месте в 1846 году астро-номы убедились в реальном существовании еще одной планеты Солнечной сис-темы. По-добные вычисле-ния, сделанные П. Лоуэлом, при-вели в 1930 году к открытию де-вятой пла-неты, получившей название Плутон.

В ходе многовекового исторического развития математики сконст-руированы осо-бые мо-дели количественных отношений и пространственных форм ок-ружаю-щего мира. Это такие математические понятия, как число, функция, уравнение, гео-метриче-ская фигура и др. Хотя математическая модель и создается человеческим разумом, в даль-нейшем она во многих случаях становится предметом объективного изучения. Познавая ее свойства, мы тем самым познаем и свойства отраженной моделью реаль-но-стей, т.е. абст-рактные математические открытия обнаруживают ранее неизвестные свойства окружающего мира.

Например, представле-ние, что числа бывают только, скажем, до миллиарда (а дальше чисел нет!) прямым наблюдением вряд ли может быть опро-вергнуто. Только создание мате-матиками древности такого понятия нату-рального числа (такой модели), при ко-тором нату-ральных чисел оказывалось беско-нечно много, позволяет это сделать. С помощью модели геометрии Лобачевского че-ловечество пришло к пониманию искрив-ленности пространства, абстрактные функ-циональные зависимости дают возможность пред-сказывать развитие тех или иных процессов, модели геометрических тел позволяют на прак-тике определять количе-ст-венные характеристики окружающих нас предметов и т.д.

Для исследования существующих и построения новых моделей в математике раз-рабо-таны специальные методы. Среди них методы теории графов, теории вероятно-стей и математической статистики, математической логики и комбинаторики, ак-сио-матический метод, методы иссле-дования элементарных функций, решения уравнений, доказательства утверждений, построения геометрических фигур, измерения величин и т.д. Так, идеи метода моделирования находят свое примене-ние при решении тексто-вых задач: во-первых, само понятие текстовой задачи можно ввести, пользуясь поня-тием «модель», во-вторых, понятия мо-дели позволяет строго определить понятия «метода решения» и «способа решения» тексто-вой задачи.

В математике разработаны и особые методики использования на практике матема-тиче-ских моде-лей, например, приемы решения задач с помощью уравнений и систем уравнений, изучение различных явлений и процессов с помощью исследования соот-ветствующих функ-ций, графов, геометрических фигур и т.д.

Пример 5. Общеизвестно, что, разрезая конус плоскостями, не проходящими через его вершину, мы полу-чаем в сечении различные кривые: окружности, эллипсы, параболы, гиперболы (рис. 4.7). Их называют коническими сече-ниями . Еще древнегреческие ученые начали зани-маться изучением этих кривых, т.к. они встречаются в различ-ных явлениях природы и в че-ловече-ской деятельности (в астро-номии, в во-енном деле, в физики и т.п.). Однако лишь, ко-гда поя-вились уравнения конических сечений, полу-ченные методом координат, изучение этих кри-вых значительно продвинулось вперед, и были ре-шены многие задачи, связанные с ними. Так, И. Кеплер (1609 г.) открыл из наблюдений, а И. Ньютон (1687 г.) теоретически обосно-вал, что планеты и кометы Солнечной сис-темы движутся по этим кривым.

Заметим, что уравнения x 2 + y 2 = r 2 , y = kx 2 и выступают в каче-стве мо-делей окружности, эллипса, параболы и гиперболы, соответственно, а эти кривые в свою очередь можно рас-сматривать как геометрические модели указанных уравнений.

ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ . Большую роль в современной науке (т.е. не только в ма-тематике) играют знаковые мо-дели . Они позволяют в виде выражений, формул, урав-нений и т.п. отображать различные процессы и существенные отношения между изу-чаемыми предметами и явлениями, с помощью термина (слова) или знака - вводить новое понятие. Например, вы-ражение a +b служит моделью суммы двух чисел; фор-мула m =2k , где k ÎN , задает четные на-туральные числа; уравнения Zn - 2e = Zn 2+ и 2H + + 2e = H 2 описывают реакции с отдачей и приемом электронов. Каждому образо-ванному человеку не составляет труда понять, что вы-ражают формулы H 2 O, H 2 SO 4 , E =mc 2 , a 2 + b 2 = c 2 , S = a·b , и знаки «=», «+», «sin», «+», «g », «», «e », «p» соответст-венно в химии, фи-зике и математике.

Часто одна и та же знаковая модель описывает различные объекты или процессы. На-пример, знаковая модель «A » может отображать точку, множество, высказывание, объект; модель «y = k·x » - зависимость между ценой, стоимостью и количеством то-вара; или между работой, производительностью труда и временем выполнения ра-боты и др. С другой сто-роны, один и тот же процесс можно описать разными моде-лями. Например, реакцию взаимо-действия цинка с уксусной кислотой в молекуляр-ном виде задают уравнением Zn + 2CH 3 COOH = Zn(CH 3 COO) 2 + H 2 , в молекулярно-ионном - уравнением Zn+2CH 3 COOH = Zn 2+ + 2CH 3 COO - + H 2 .

З.м. понятия «число» . Понятие числа явля-ется одним из важнейших в математике и центральным понятием курса математики в на-чальной. Появившись в простейшем виде еще в первобытном об-ществе из потребностей счета, понятие числа совершенст-вова-лось на протяжении всего последующего развития человеческой цивилизации. В вузе сту-денты, в силу выбранной профессии, изучают большинство известных число-вых множеств, и они знают, что развитие понятия числа происходило под влиянием двух факторов: прак-тиче-ской деятельности человека и внутренних потребностей ма-тематики. В процессе обучения у них формируется представление о том, что бывают порядковые числа, ко-личественные числа, числа как меры величин и числа как ком-понент вычислений.

Однако многие из них не видят разницы между понятием числа и его названием (за-писью), для большинства из них эти понятия тождественны. На во-прос: «Какие числа называются натуральными?», - обычно следует ошибочный ответ: «1, 2, 3 и т.д. - это натуральные числа». Ответ неправильный, по-тому что студенты в данной ситуации подменяют само понятие его обозначением: 1, 2, 3 и т.д. - это не на-туральные числа, а их обозначения, их символы, их знаковые модели . Понятие числа, возникшее как ма-тематическая модель операции пересчета предметов, само стано-вится основой для построения новых математических моделей.

Системы счисления и нумерации - это способы знаково-сим-воличе-ского модели-рования натуральных чисел. Например, любое натуральное число s в десятич-ной сис-теме счисления можно представить в виде:

s = a n 10 n + a n -1 10 n -1 + a 1 10 1 + a 0 = a n a n -1 a 1 a 0 , где a i < 10, i = 0,1,2, n , a n ≠ 0.

Числа a i называются однозначными числами , а их обозначения (символы 1, 2, 3, 9, т.е. знаковые модели) называются цифрами . Следовательно, и запись a n a n -1 . a 1 a 0 есть знаковая модель числа s . Другими знаковыми моделями натуральных чисел яв-ляются их представле-ния цифрами римской нумерации, старославянской нумерации и др.

Большое разнообразие знаковых моделей представляют в наше распоряжение ра-цио-нальные числа, которые можно записать в виде:

а) обыкновенной дроби, например, 12/7, 2/3;

б) десятичной конечной или десятичной бесконечной периодической дроби, на-пример, 3,5; 2,(36); 12,17(3);

в) конечной непрерывной (или цепной дроби), например,

;

г) систематической дроби, например,

В зависимости от целей, которые стоят перед исследователем, используется та или иная знаковая модель рационального числа. Так, при проведении теоретических ис-следований предпочтении отдают непрерывным дробям, при выполнении практиче-ских вычислений - десятичным и обыкновенным, и т.д.

Универсальной моделью действительного числа является бесконечная десятичная дробь. При этом, если эта дробь периодическая, то изображаемое ею действительное число является рациональным; если же эта дробь непериодическая, то изображаемое ею действительное число является иррациональным. Другими знаковыми моделями действительных чисел яв-ляются непрерывные дроби (конечные и бесконечные), ир-рациональные числа, которые изо-бражаются с помощью знаков корней (, , и др.), трансцендентные числа (p = 3,141592, e = 2,718281 и др.).

АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД И МОДЕЛИРОВАНИЕ . Особая роль принад-лежит модели-рованию в установлении истинности той или иной формы теоретиче-ского знания (ак-сиоматической теории, гипотезы и т.д.). Модель здесь можно рас-сматривать как ору-дие проверки того, действительно ли существуют такие связи, от-ношения, структуры, закономерности, которые формулируются в данной теории и выполняются в модели, а ус-пешная работа модели - это практическое доказательство истинно-сти теории, т.е. это часть экспериментального доказательства истинности этой теории.

Сформулировав основные по-нятия (объекты и отношения), а так же ак-сиомы неко-торой теории, мы имеем лишь ло-ги-че-скую схему , в кото-рой все понятия счита-ются «пустыми» (не имеющими конкретный смысл). Требование только одно: данные по-ня-тия должны формально удовлетворять аксиомам. Ос-тальные свой-ства этих и новых понятий (т.е. тех, которые будут введены в дальнейшем) должны быть ло-гически вы-ведены из ак-сиом.

Придав основным объектам и отношениям аксиоматики конкретный смысл, мы по-лучим ее модель. Ценность моделей в этом случае заключается в том, что они дают возможность прове-рить логическую стройность аксиоматики . При этом, как только понятиям аксиоматики при-дан конкретный смысл, ее ак-сиомы становятся теоремами , которые уже нужно доказы-вать.

Так, моделями булевой алгебры являются алгебра множеств и ал-гебра вы-сказыва-ний, моделью числового поля - множество действительных чисел с заданными на нем операциями сложения и умножения. Интересные модели предоставляют в наше рас-поряжение аксиоматики евклидовой гео-метрии и геомет-рии Лобачевского.

Пример 6 . Модель №1 евклидовой геометрии. Условимся под словами «точка», «прямая» и т.д. подразуме-вать следующее (другими словами, придадим конкретный смысл основным понятиям). «Точка » - любая точка обыкновенной плоскости, кроме одной точки O ; «прямая » - окружность в широком смысле, проходящая через точку O , т.е. любая окруж-ность или прямая, проходящая через точку O (можно считать, что обыкновенная прямая - это окружность с бесконечно большим радиу-сом.); «принадлежит » - в обычном смысле. Чтобы не услож-нять пример, истолкование других слов («между », «конгруэнтен » и т.д.) приводить не бу-дем.

Можно показать, что для таких «точек» и «прямых» выпол-няются все ак-сиомы евклидо-вой гео-метрии. Например, аксиома «Через две раз-личные точки проходит одна и толь-ко одна пря-мая » ста-новится в на-шей модели теоремой «Через три точки проходит единствен-ная ок-ружность в широ-ком смысле ». Дока-жем ее. Пусть «точки» B и C (рис. 4.8) таковы, что точка O не лежит на пря-мой BC .

Из планиметрии Евк-лида известно, что через три точки (B , C и O ), не лежащие на одной прямой, проходит единственная окружность. Если же «точки» B и C таковы, что BC проходит через O , то B и C определяют единст-венную прямую, прохо-дя-щую через O . Что и требовалось доказать.

Пример 7 . Модель №2 евклидовой геометрии. Введем словарь по-нятий. «Точка » - всякая упо-рядоченная пара чисел (х,у) ; «прямая » - множе-ство точек, координаты которых удовле-творяют урав-не-нию вида

Ax + By + С = 0; «при-надле-жит » - «точка» (x 0 ,y 0) лежит на «пря-мой» Ax + By + С = 0, если Ax 0 + By 0 + С = 0; «между» - точка B (x 2 ,y 2) лежит между A (x 1 ,y 1) и C (x 3 ,y 3), если выполняется хотя бы одно из сле-дующих отношений: x 1 <x 2 <x 3 , x 3 <x 2 <x 1 , y 1 <y 2 <y 3 или y 3 <y 2 <y 1 ; «конгруэнтен» (для отрезков) - отрезок A (x 1 ,y 1)B (x 2 ,y 2) кон-груэнтен от-резку C (x 3 ,y 3)D (x 4 ,y 4), если (x 1 -x 2) 2 + (y 1 -y 2) 2 = (x 3 -x 4) 2 + (y 3 -y 4) 2 и т.д.

Геометрия Лобачевского, не получившая признания при жизни ее автора, стала из-вест-ной только после того, как появилась ее первая модель.

Пример 8. Модель Кели-Клейна геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Плос-кость » - фик-си-рованный круг; «точка » - обычная точка, находящаяся внутри круга, «пря-мая » - хорда окружнос-ти (без концов); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, истолкование дру-гих слов приводить не будем.

Можно показать, что на этой модели выполняются все аксиомы геометрии Евклида кроме ак-сиомы IV о па-раллельных. Вместо нее выполняется аксиома Лобачевского: «Через точку вне прямой проходит более одной прямой, не пересекающей данную». На рис 9а через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , параллельные «прямой» a .

Пример 9 . Модель Пуанкаре геометрии Лобачевского. Введем словарь понятий. «Точка » - обыч-ная точка, находящаяся в верхней полуплоскости (x >0), «пря-мая » - луч, перпендику-лярный оси X, а также полуокружности, опирающиеся на ось X (см. рис. 9б); «лежать », «между » - в обычном смысле. Чтобы не усложнять пример, ис-толкование других слов при-водить не будем. На рис. 9б через точку O проходят три «прямые» d 1 , d 2 и d 3 , парал-лельные «прямой» a .

Наличие моделей доказывает, что сис-тема ак-сиом Лобачевского является непро-тиворечивой.

Построение моделей геометрий Евклида и Лобачевского позволило решить про-блему 2000-летней дав-ности: можно ли доказать аксиому о параллельных, т.е. вы-вести ее из дру-гих аксиом? Те-перь ясно, что нельзя, потому что эта аксиома не зави-сит от остальных ак-сиом. Независи-мость вытекает из того факта, что после замены аксио-мы параллельности Евклида на ак-сиому параллельности Лобачевского мы вновь получаем непротиворечивую си-стему аксиом.

Открытие неевклидовой геометрии показывает, что появление новых математиче-ских мо-делей нередко означает не только принципиальный поворот в развитии самой математики, но и меняет существующие знания об окружающем нас мире.

МОДЕЛИ В ОБУЧЕНИИ. Модели помимо всего прочего являются тем учебным средством, без кото-рого невоз-можно полно-цен-ное обучение. На уроках математике в начальной школе находят применение как материальные, так и идеальные модели. К ним относятся, например, наглядные пособия, которые воспроизводят реальные и идеальные объекты, передают их структуру, существенные свойства, связи и от-ноше-ния, допуская при этом уменьшение или увеличение раз-мера, схематическое изобра-же-ние. По способу предъявления учащимся такие модели делятся на демонстрацион-ные и раз-даточные (индивидуальные ).