Функции нескольких переменных область определения линии уровня

Чтобы создать карту линий уровня:

• Определите матрицу значений, которую нужно отобразить графически. Mathcad предполагает, что строки и столбцы представляют значения аргументов некой функции, равномерно располагаемые на осях координат. Затем Mathcad линейно интерполирует значения этой матрицы, чтобы сформировать линии одинакового уровня. Такие изолинии могут представлять изотермы, изобары, эквипотенциальные линии, линии тока или иметь иной физический смысл.
• Выберите Карта линий уровня изCreate Contour Plot command меню Графика . Mathcad покажет прямоугольник с одним полем ввода, как на Рисунке 1.
• Напечатайте имя матрицы в поле ввода. Как и при работе с выражением, Mathcad не создаст карту линий уровня, пока Вы не нажмете , или, в автоматическом режиме, не щёлкните вне области графика.

Рисунок 1: Пустое поле ввода отведено для имени матрицы.

Построенный график изображает линии, вдоль которых функция, значения которой представлены элементами матрицы, принимает постоянные значения. Поскольку разные линии соответствуют разным значениям, то они не пересекаются. При построении графика матрица ориентируется таким образом, что её (0.0) элемент соответствует нижнему левому углу графика, строки матрицы соответствуют постоянным значениям по оси ординат, а столбцы соответствуют постоянным значениям по оси абсцисс.

Форматируя чертёж, можно установить, должны ли проставляться значения функции на соответствующих им линиях уровня, насколько частыми они должны быть, и какие надписи и линии сетки появятся на осях. Всё это описано ниже в разделе “Форматирование карты линий уровня ”.

Линии уровня функции двух переменных

Ниже приведены стандартные этапы в создании карты линий уровня функции двух переменных, показанной на Рисунке 2:

• Определите функцию двух переменных.
• Решите, сколько точек нужно отложить по координатным осям. Введите дискретные аргументы i и j , чтобы индексировать эти точки. Например, если необходимо использовать 10 точек в каждом направлении, введите:

i:= 0 ..9 j:= 0 ..9

• Определите x i и y j как равномерно располагаемые точки на осях x и y .
• Заполните матрицу M значениями f(x i , y j).
• Отобразите M в виде карты линий уровня.

Рисунок 2: Карта линий уровня функции двух переменных.

Обратите внимание, что в данном случае ось x графика идет направо, а ось y направлена вверх. Так как карта линий уровня создается помещением значений функции в матрицу, Mathcad не знает истинных значений x и y . По этой причине оси на карте линий уровня по умолчанию нормированы так, что координаты изменяются от -1 до 1. Можно вручную установить границы на осях вместо этих значений по умолчанию, выбрав Формат 3D графика из меню Графика при выделенной карте линий уровня, или двойным щелчком на графике. Затем установите необходимые значения в полях “Мин” и “Макс” на странице “Оси”.

Пусть Z = F (M ) – функция, определенная в некоторой окрестности точки М(у; х); L ={ Cos ; Cos } – единичный вектор (на рис. 33 1= , 2= ); L – направленная прямая, проходящая через точку М ; М1(х1; у1), где х1=х+х и у1=у+у – точка на прямой L ;  L – величина отрезка ММ1 ;  Z = F (х+х, у+у)- F (X , Y ) – приращение функции F (M ) в точке М(х; у).

Определение. Предел отношения , если он существует, называется Производной функции Z = F ( M ) в точке M ( X ; Y ) по направлению вектора L .

Обозначение.

Если функция F (M ) дифференцируема в точке М(х; у) , то в точке М(х; у) существует производная по любому направлению L , исходящему из М ; вычисляется она по следующей формуле:

(8)

Где Cos И Cos - направляющие косинусы вектора L .

Пример 46. Вычислить производную функции Z = X 2 + Y 2 X в точке М(1; 2) по направлению вектора ММ1 , где М1 – точка с координатами (3; 0).

. Найдем единичный вектор L , имеющий данное направление:

Откуда Cos = ; Cos =- .

Вычислим частные производные функции в точке М(1; 2) :

По формуле (8) получим

Пример 47. Найти производную функции U = Xy 2 Z 3 в точке М(3; 2; 1) В направлении вектора MN , где N (5; 4; 2) .

. Найдем вектор и его направляющие косинусы:

Вычислим значения частных производных в точке М :

Следовательно,

Определение. Градиентом Функции Z = F (M ) в точке М(х; у) называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным и, взятым в точке М(х; у).

Обозначение.

Пример 48. Найти градиент функции Z = X 2 +2 Y 2 -5 в точке М(2; -1) .

Решение . Находим частные производные: и их значения в точке М(2; -1):

Пример 49. Найти величину и направление градиента функции в точке

Решение. Найдем частные производные и вычислим их значения в точке М:

Следовательно,

Аналогично определяется производная по направлению для функции трех переменных U = F (X , Y , Z ) , выводятся формулы

Вводится понятие градиента

Подчеркнем, что Основные свойства градиента функции важнее для анализа экономических оптимизационных : в направлении градиента функция возрастает. В экономических задачах находят применение следующие свойства градиента:

1) Пусть задана функция Z = F (X , Y ) , имеющая частные производные в области определения. Рассмотрим некоторую точку М0(х0, у0) из области определения. Значение функции в этой точке пусть равно F (X 0 , Y 0 ) . Рассмотрим график функции. Через точку (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) трехмерного пространства проведем плоскость, касательную к поверхности графика функции. Тогда градиент функции, вычисленный в точке (х0, у0) , рассматриваемый геометрически как вектор, приложенный в точке (X 0 , Y 0 , F (X 0 , Y 0 )) , будет перпендикулярен касательной плоскости. Геометрическая иллюстрация приведена на рис. 34.

2) Градиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого возрастания функции в точке М0 . Кроме того, любое направление, составляющее с градиентом острый угол, является направлением роста функции в точке М0 . Другими словами, малое движение из точки (х0, у0) по направлению градиента функции в этой точке ведет к росту функции, причем в наибольшей степени.

Рассмотрим вектор, противоположный градиенту. Он называется Антиградиентом . Координаты этого вектора равны:

Антиградиент функции F (X , Y ) в точке М0(х0, у0) указывает направление наиболее быстрого убывания функции в точке М0 . Любое направление, образующее острый угол с антиградиентом, является направлением убывания функции в этой точке.

3) При исследовании функции часто возникает необходимость нахождения таких пар (х, у) из области определения функции, при которых функция принимает одинаковые значения. Рассмотрим множество точек (X , Y ) из области определения функции F (X , Y ) , таких, что F (X , Y )= Const , где запись “ Const ” означает, что значение функции зафиксировано и равно некоторому числу из области значений функции.

Определение. Линией уровня функции U = F ( X , Y ) называется линия F (X , Y )=С на плоскости XOy , в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Линии уровня геометрически изображаются на плоскости изменения независимых переменных в виде кривых линий. Получение линий уровня можно представить себе следующим образом. Рассмотрим множество С , которое состоит из точек трехмерного пространства с координатами (X , Y , F (X , Y )= Const ), которые, с одной стороны, принадлежат графику функции Z = F (X , Y ), с другой - лежат в плоскости, параллельной координатной плоскости ХОУ , и отстоящей от неё на величину, равную заданной константе. Тогда для построения линии уровня достаточно поверхность графика функции пересечь плоскостью Z = Const и линию пересечения спроектировать на плоскость ХОУ . Проведенное рассуждение является обоснованием возможности непосредственно строить линии уровня на плоскости ХОУ .

Определение. Множество линий уровня называют Картой линий уровня .

Хорошо известны примеры линий уровня – уровни одинаковых высот на топографической карте и линии одинакового барометрического давления на карте погоды.

Определение. Направление, вдоль которого скорость увеличения функции максимальна, называется «предпочтительным» направлением , или Направлением наискорейшего роста .

«Предпочтительное» направление задается вектором-градиентом функции. На рис. 35 изображены максимум, минимум и седловая точка в задаче оптимизации функции двух переменных при отсутствии ограничений. В нижней части рисунка изображены линии уровня и направления наискорейшего роста.

Пример 50. Найти линии уровня функции U = X 2 + Y 2 .

Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид X 2 + Y 2 = C (C >0) . Придавая С различные действительные значения, получим концентрические окружности с центром в начале координат.

Построение линий уровня. Их анализ находит широкое применение в экономических задачах микро - и макроуровня, теории равновесия и эффективных решений. Изокосты, изокванты, кривые безразличия – это все линии уровня, построенные для разных экономических функций.

Пример 51. Рассмотрим следующую экономическую ситуацию. Пусть производство продукции описывается Функцией Кобба-Дугласа F (X , Y )=10х1/3у2/3 , где Х – количество труда, У – количество капитала. На приобретение ресурсов выделено 30 у. ед., цена труда составляет 5 у. ед., капитала – 10 у. ед. Зададимся вопросом: какой наибольший выпуск можно получить в данных условиях? Здесь под «данными условиями» имеются в виду заданные технологии, цены на ресурсы, вид производственной функции. Как уже отмечалось, функция Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей по каждой переменной, т. е. увеличение каждого вида ресурса ведет к росту выпуска. В данных условиях ясно, что увеличивать приобретение ресурсов можно до тех пор, пока хватает денег. Наборы ресурсов, стоимость которых составляет 30 у. ед., удовлетворяют условию:

5х + 10у = 30,

Т. е. определяют линию уровня функции:

G (X , Y ) = 5х + 10у.

С другой стороны, с помощью линий уровня Функции Кобба-Дугласа (рис. 36) можно показать возрастание функции: в любой точке линии уровня направление градиента – это направление наибольшего возрастания, а для построения градиента в точке достаточно провести касательную к линии уровня в этой точке, построить перпендикуляр к касательной и указать направление градиента. Из рис. 36 видно, что движение линии уровня функции Кобба-Дугласа вдоль градиента следует производить до тех пор, пока она не станет касательной к линии уровня 5х + 10у = 30 . Таким образом, с помощью понятий линии уровня, градиента, свойств градиента можно выработать подходы к наилучшему использованию ресурсов с точки зрения увеличения объемов выпускаемой продукции.

Определение. Поверхностью уровня функции U = F ( X , Y , Z ) называется поверхность F (X , Y , Z )=С, в точках которой функция сохраняет постоянное значение U = C .

Пример 52. Найти поверхности уровня функции U = X 2 + Z 2 - Y 2 .

Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид X 2 + Z 2 - Y 2 =С . Если С=0 , то получаем X 2 + Z 2 - Y 2 =0 – конус; если C <0 , то X 2 + Z 2 - Y 2 =С – Семейство двуполостных гиперболоидов.

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

http://pandia.ru/text/78/481/images/image002_44.jpg" width="215" height="32 src=">

П р и м е р 1.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image005_28.jpg" width="157" height="29 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image007_16.jpg" align="left" width="110" height="89">

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image009_11.jpg" width="86" height="32 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image011_10.jpg" width="147" height="30 src=">

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

http://pandia.ru/text/78/481/images/image013_10.jpg" width="106" height="23 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image015_6.jpg" width="159" height="23 src=">

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image017_16.gif" width="88" height="29"> и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image020_11.gif" width="184 height=60" height="60">– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image025_5.gif" width="43" height="24 src=">– окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

http://pandia.ru/text/78/481/images/image030_5.gif" width="153 height=24" height="24"> называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х -> х0, у -> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только

|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image042_2.jpg" width="160" height="39 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image044_2.gif" width="20" height="25 src=">. Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1. Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image048_2.gif" width="55 height=24" height="24">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image050_2.gif" width="72 height=48" height="48"> зависит от .

П р и м е р 2. Найти .

Решение. По любой прямой предел один и тот же:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image054_2.gif" width="57" height="29">. Тогда

http://pandia.ru/text/78/481/images/image056_1.gif" width="64" height="21">, (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image065_1.gif" width="124" height="48">.gif" width="236" height="48 src=">;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image069_1.gif" width="247" height="60 src=">,

где предельная точка http://pandia.ru/text/78/481/images/image070_1.gif" width="85" height="24 src="> с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у .

О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1) ;

2) , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме..gif" width="89" height="25 src=">.gif" width="85 height=24" height="24">непрерывна в точке, если выполняется равенство

http://pandia.ru/text/78/481/images/image079_0.gif" width="16" height="20 src=">.gif" width="15 height=16" height="16"> придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

http://pandia.ru/text/78/481/images/image084_0.gif" width="35" height="25 src="> является функцией одной переменной . Аналогично,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image058_1.gif" width="85" height="24"> называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image087.gif" width="101" height="36">).

Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р. Докажем, что функция

непрерывна в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15 height=16" height="16">.gif" width="57" height="24"> в точке , соответствующее приращению http://pandia.ru/text/78/481/images/image081_0.gif" width="15" height="16 src=">:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image092_0.gif" width="99" height="36 src=">, а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image051_1.gif" width="15" height="20">, получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция http://pandia.ru/text/78/481/images/image097.jpg" width="351" height="48 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image099.jpg" width="389" height="55 src=">

Другие обозначения

http://pandia.ru/text/78/481/images/image101_0.gif" width="60" height="28 src=">.

Решение . Имеем:

,

П р и м е р 2.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image105.jpg" width="411" height="51 src=">

П р и м е р 3. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image107.jpg" width="477" height="58 src=">

Пример 4. Найти частные производные функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image109.jpg" width="321" height="54 src=">

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам х(x;y) и f"у{x;y) сущест­вуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и не­прерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного при­ращения функции двух переменных

http://pandia.ru/text/78/481/images/image112_0.gif" width="364" height="57 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image114_0.gif" width="154" height="39 src=">

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

Выражение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image116.jpg" width="192" height="57 src=">

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image090_0.gif" width="57" height="24 src="> дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р. Найдем частные производные функции http://pandia.ru/text/78/481/images/image120.gif" width="253" height="57 src=">.

Полученные формулы теряют смысл в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image121.gif" width="147" height="33 src="> не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке http://pandia.ru/text/78/481/images/image124.gif" width="25" height="48"> в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой http://pandia.ru/text/78/481/images/image130.gif" width="101 height=29" height="29">

Пример 2. Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциа­ла:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить http://pandia.ru/text/78/481/images/image140.gif" width="23" height="44 src=">.

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

http://pandia.ru/text/78/481/images/image142.gif" width="293" height="43 src=">

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image144.gif" width="147" height="44 src="> (*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y ² , v=x2 + y;

http://pandia.ru/text/78/481/images/image146.gif" width="81" height="41 src=">.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image148.gif" width="97" height="44 src=">.gif" width="45" height="44 src=">.

Тогда по формуле (*) получим:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image152.gif" width="219" height="44 src=">.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не незави­симые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную http://pandia.ru/text/78/481/images/image155.gif" width="235" height="44 src=">

Разделим обе части этого равенства на Δt:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image157.gif" width="145" height="44 src="> (**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от неза­висимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внима­ние, что http://pandia.ru/text/78/481/images/image160.gif" width="120" height="44 src="> (***)

Производная x(x, у)=http://pandia.ru/text/78/481/images/image162.gif" width="27" height="27 src=">, y=sin x.

Находим частные производные

http://pandia.ru/text/78/481/images/image164.gif" width="72" height="48 src=">.gif" width="383" height="48 src=">

Доказанное правило дифференцирования сложных функций при­меняется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image168.gif" width="64" height="41 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image171.gif" width="20" height="24"> справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для http://pandia.ru/text/78/481/images/image173.gif" width="23" height="41 src="> определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="33" height="19 src=">.gif" width="140" height="44 src=">

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

http://pandia.ru/text/78/481/images/image180.gif" width="139" height="41 src=">

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y , v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

2uv3·(2x·siny ·dx+x2·cosy ·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image183.jpg" width="409" height="46 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image185.gif" width="60" height="41 src=">. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image187.jpg" width="229" height="47 src=">

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (- 1)..jpg" width="36" height="15">. Действительно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image191.jpg" width="363" height="29 src=">

Полагая t=1, находим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image193.jpg" width="95" height="22 src=">

Частные производные http://pandia.ru/text/78/481/images/image195.jpg" width="77" height="30 src=">), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных про­изводных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image209.jpg" width="600" height="87 src=">

П р и м е р 2. Вычислить и http://pandia.ru/text/78/481/images/image212.jpg" width="520" height="97 src=">

П р и м е р 3. Вычислить , если

http://pandia.ru/text/78/481/images/image215.jpg" width="129" height="36 src=">

x, f"y, f"xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

http://pandia.ru/text/78/481/images/image218.jpg" width="50 height=28" height="28">.jpg" width="523" height="128 src=">

Следовательно,

http://pandia.ru/text/78/481/images/image222.jpg" width="130" height="30 src=">

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных .

Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функ­ция тех же переменных, и мы можем определить полный дифферен­циал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифферен­циал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух пере­менных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

http://pandia.ru/text/78/481/images/image230.jpg" width="463" height="186 src=">

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

http://pandia.ru/text/78/481/images/image232.jpg" width="347" height="61 src="> (*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и http://pandia.ru/text/78/481/images/image235.jpg" width="22" height="21 src=">.gif" width="22" height="27"> с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При перехо­де от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит пол­ное приращение

http://pandia.ru/text/78/481/images/image239.jpg" width="133 height=27" height="27"> стремящемся к нулю (см. рис.).

http://pandia.ru/text/78/481/images/image241.jpg" width="324" height="54 src=">

где http://pandia.ru/text/78/481/images/image243.gif" width="76" height="41 src=">, а потому получаем:

http://pandia.ru/text/78/481/images/image245.gif" width="24" height="41 src="> при Δs->0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

http://pandia.ru/text/78/481/images/image247.jpg" width="227" height="51 src="> (*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image249.jpg" width="287" height="56 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image251.jpg" width="227" height="59 src=">

http://pandia.ru/text/78/481/images/image253.gif" width="253 height=62" height="62">

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5. 12 . Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

http://pandia.ru/text/78/481/images/image256.jpg" width="205" height="56 src=">

т. е..jpg" width="89" height="33 src=">

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.

http://pandia.ru/text/78/481/images/image259.jpg" width="213" height="56 src=">

Чтобы

нескольких функций

скачать график

Построение графика функции онлайн

моментально .

Онлайн сервис моментально рисует график

Поддерживаются абсолютно все математические функции

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Построить график функции

Построение поверхности 3D

Введите уравнение

Построим поверхность, заданную уравнением f(x, y, z) = 0, где a < x < b, c < y < d, m < z < n.

Другие примеры:

• y = x^2
• z = x^2 + y^2
• 0.3 * z^2 + x^2 + y^2 = 1
• z = sin((x^2 + y^2)^(1/2))
• x^4+y^4+z^4-5.0*(x^2+y^2+z^2)+11.8=0

Канонический вид кривой и поверхности

Вы можете определить вид кривой и поверхности 2-го порядка онлайн с подробным решением:

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x| ) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x e e число, которое примерно равно 2.7 exp(x) Функция — экспонента от x (что и e ^x ) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x) =log(x)/log(10)) pi Число — "Пи", которое примерно равно 3.14 sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (Лапласа или интеграл вероятности)

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа вводить в виде 7.5 , не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание

Как построить график функции онлайн на этом сайте?

Чтобы построить график функции онлайн , нужно просто ввести свою функцию в специальное поле и кликнуть куда-нибудь вне его. После этого график введенной функции нарисуется автоматически. Допустим, вам требуется построить классический график функции «икс в квадрате». Соответственно, нужно ввести в поле «x^2».

Если вам нужно построить график нескольких функций одновременно, то нажмите на синюю кнопку «Добавить еще». После этого откроется еще одно поле, в которое надо будет вписать вторую функцию. Ее график также будет построен автоматически.

Цвет линий графика вы можете настроить с помощью нажатия на квадратик, расположенный справа от поля ввода функции. Остальные настройки находятся прямо над областью графика. С их помощью вы можете установить цвет фона, наличие и цвет сетки, наличие и цвет осей, наличие рисок, а также наличие и цвет нумерации отрезков графика. Если необходимо, вы можете масштабировать график функции с помощью колесика мыши или специальных иконок в правом нижнем углу области рисунка.

После построения графика и внесения необходимых изменений в настройки, вы можете скачать график с помощью большой зеленой кнопки «Скачать» в самом низу. Вам будет предложено сохранить график функции в виде картинки формата PNG.

Зачем нужно строить график функции?

На этой странице вы можете построить интерактивный график функции онлайн .

Построить график функции онлайн

Построение графика функции позволяет увидеть геометрический образ той или иной математической функции. Для того чтобы вам было удобнее строить такой график, мы создали специальное онлайн приложение. Оно абсолютно бесплатно, не требует регистрации и доступно для использования прямо в браузере без каких-либо дополнительных настроек и манипуляций. Строить графики для разнообразных функций чаще всего требуется школьникам средних и старших классов, изучающим алгебру и геометрию, а также студентам первых и вторых курсов в рамках прохождения курсов высшей математики. Как правило, данный процесс занимает много времени и требует кучу канцелярских принадлежностей, чтобы начертить оси графика на бумаге, проставить точки координат, объединить их ровной линией и т.д. С помощью данного онлайн сервиса вы сможете рассчитать и создать графическое изображение функции моментально .

Как работает графический калькулятор для графиков функций?

Онлайн сервис работает очень просто. В поле на самом верху вписывается функция (т.е. само уравнение, график которого необходимо построить). Сразу после ввода приложение моментально рисует график в области под этим полем. Все происходит без обновления страницы. Далее, можно внести различные цветовые настройки, а также скрыть/показать некоторые элементы графика функции. После этого, готовый график можно скачать, нажав на соответствующую кнопку в самом низу приложения. На ваш компьютер будет загружен рисунок в формате.png, который вы сможете распечатать или перенести в бумажную тетрадь.

Какие функции поддерживает построитель графиков?

Поддерживаются абсолютно все математические функции , которые могут пригодиться при построении графиков. Тут важно подчеркнуть, что в отличии от классического языка математики принятого в школах и ВУЗах, знак степени в рамках приложения обозначается международным знаком «^». Это обусловлено отсутствием на клавиатуре компьютера возможности прописать степень в привычном формате. Далее приведена таблица с полным списком поддерживаемых функций.

Приложением поддерживаются следующие функции:

Тригонометрические функции
				Косеканс	Котангенс	Арксинус	Арккосинус	Арктангенс	Арксеканс	Арккосеканс	Арккотангенс
Гиперболические функции
Прочее
Натуральный логарифм		Логарифм		Квадратный корень				Округление в меньшую сторону		Округление в большую сторону
Минимум						Максимум
min(выражение1,выражение2,…)						max(выражение1,выражение2,…)

Примеры. Построить линии уровня функций, соответствующие значениям

Построить линии уровня функций, соответствующие значениям .

Полагая , получим уравнения соответствующих линий уровня:

Построив эти линии в декартовой системе координат хОу, получим прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого координатных углов (рис.1)

Напишем уравнения линий уровня:

, , , и .

Построив их в плоскости хОу, получим концентрические окружности с центром в начале координат (рис.2)

Линии уровня этой функции , , , и представляют собой параболы, симметричные относительно Оу с общей вершиной в начале координат (рис. 3).

2. Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является скорость изменения поля в данном направлении.

Для характеристики скорости изменения поля в направлении вектора вводят понятие производной поля по направлению.

Рассмотрим функцию в точке и точке .

Проведем через точки и вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Функция нескольких переменных. Общие свойства. Непрерывность функции. Линии уровня, поверхности уровня.Семинар 21

Определение 1
Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга переменных
величин x,y из некоторой области их изменения D соответствует
определенное значение величины z, то z есть функция двух независимых
переменных x,y, определенных в области D.
Обозначение: z=f(x,y), z=F(x,y), и так далее.
Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.
Определение 2
Совокупность пар (x,y) значений x,y, при которых определена функция
z=f(x,y), называется областью определения или областью существования этой
функции.
Пусть дана функция z=f(x,y), определенная в некоторой области G плоскости
OXY. Рассмотрим некоторую определенную точку
, лежащую в
области G или на ее границе.
Определение 3
Число А называется пределом функции f(x,y) при стремлении точки M(x,y) к
точке
, если для каждого числа
найдется такое число r>0, что
для всех точек M(x,y), для которых выполняется неравенство
имеет
место неравенство

Определение 4
Пусть точка
принадлежит области определения функции f(x,y).
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке
, если имеет место
равенство
(1)
Причем точка M(x,y) стремится к точке
произвольным образом,
оставаясь в области определения функции.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется
непрерывной в этой области.
Если в некоторой точке
не выполняется условие (1), то точка
называется точкой разрыва функции z=f(x,y). Условие (1) может не
выполняться, например, в следующих случаях:
1) z=f(x,y) определена во всех точках некоторой окрестности точки
,
за исключением самой точки
.
2) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
, но не
существует
3) z=f(x,y) определена во всех точках окрестности точки
и
существует
, но
Определение 5
Линией уровня функции z=f(x,y) называется линия z=f(x,y)=с на плоскости
OXY, в точках которой функция сохраняет постоянное значение z=c.

Определение 6
Поверхностью уровня функции u=f(x,y,z) называется поверхность u=f(x,y,z)=с
плоскости, в точках которой функция сохраняет постоянное значение u=c.
Примеры с решениями
1. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция принимает действительные значения при условии
или
, т. е. областью определения данной функции является круг радиуса
а с центром в начале координат, включая граничную окружность.
2. Найти область определения функции
.
Решение.
Функция определена, если
Областью определения
функции является плоскости, заключенная между двумя параболами
, за исключением точки О(0,0).
3. Найти область определения функции
.
Решение.
Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные
значения при
, т. е. область определения –
часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного
гиперболоида.

4. Найти линии уровня функции
Решение.
Уравнение семейства линий уровня имеет вид
.
Придавая С различные действительные значения, получим концентрические
окружности с центром в начале координат.
5. Найти поверхности уровня функции
Решение.
Уравнение семейства поверхностей имеет вид
.
Если С=0, то получаем
- конус.
Если С>0, то получаем
- семейство однополостных
гиперболоидов;
Если С<0, то получаем
- семейство двуполостных гиперболоидов;
Примеры для самостоятельного решения
1. Найти области определения функции
2. Найти линии уровня функций: